¿Por qué es $0.63212$ la probabilidad de un $\frac1n$ -probabilidad de que el evento ocurra en $n$ ¿juicios?

Question

Siempre he asumido por intuición defectuosa que si tienes un evento que ocurre 1 en n posibilidades, será súper probable que ocurra en algún momento de ese evento n veces. Sin embargo, tras un análisis, no parece que sea muy probable, y parece que converge en un valor particular a medida que el valor de n se levanta. Ese valor es aproximadamente 0,63212.

¿Es esto correcto? Si es así, ¿hay un nombre para este valor y se considera significativo dentro del campo de la probabilidad?

A continuación se muestra el código Python que he utilizado para llegar a este valor.

>>> def p(x, r):
...   return x + r * (1.0 - x)

>>> def p_of_1(r):
...   x = r
...   while True:
...     yield x
...     x = p(x, r)

>>> def p_of_n(n):
...   g = p_of_1(1.0 / n)
...   return [next(g) for x in range(n)]
...

>>> p_of_n(1)
[1.0]
>>> p_of_n(2)
[0.5, 0.75]
>>> p_of_n(3)
[0.3333333333333333, 0.5555555555555556, 0.7037037037037037]
>>> p_of_n(4)
[0.25, 0.4375, 0.578125, 0.68359375]
>>> p_of_n(5)
[0.2, 0.36000000000000004, 0.488, 0.5904, 0.67232]

>>> p_of_n(6)[-1]
0.6651020233196159
>>> p_of_n(10)[-1]
0.6513215599000001
>>> p_of_n(100)[-1]
0.6339676587267709
>>> p_of_n(10000)[-1]
0.6321389535670703
>>> p_of_n(10000000)[-1]
0.6321205772225762

Answer 1

Es más fácil trabajar hacia atrás. La probabilidad de que el evento no ocurra en un solo intento es, por supuesto, $1-\frac 1n$ . De ello se deduce que la probabilidad de que no se produzca en $n$ los juicios es $p_n=\left(1-\frac 1n\right)^n$ . Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra al menos una vez en esos $n$ los juicios es $$1-p_n=1-\left(1-\frac 1n\right)^n$$ Si ahora recordamos la definición de límite de la exponencial: $$e^a=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac an\right)^n$$ Vemos que, para grandes $n$ , $$1-p_n\sim 1-\frac 1e=0.632120559\dots$$