No existe tal $X$ .
Dado que cualquier espacio de Hausdorff $X$ existe un Hausdorff $Y$ y distinto $a,b \in Y$ de tal manera que cada continuo $f \colon Y \to X$ satisface $f(a)=f(b)$ .
Esto se desprende de la siguiente declaración más precisa, que voy a probar.
Deje que $X$ ser Hausdorff con cardinalidad $ \kappa = \lvert X \rvert $ y $ \kappa ^ \prime $ ser un cardenal de tal manera que no hay una cartografía finita a uno $ \kappa ^ \prime\to\kappa $ . Entonces, existe un espacio Hausdorff $Y$ con puntos distintos $a,b \in Y$ y subconjunto $Z \subseteq Y$ satisfactoria
- Cada barrio cerrado de $a$ o $b$ contiene todos los puntos de $Z$ .
- $Z$ tiene cardinalidad $ \kappa ^ \prime $ .
Además, para cualquier $Y$ cada continuo $f \colon Y \to X$ satisface $f(a)=f(b)$ .
La afirmación de que no hay un mapa finito a uno $ \kappa ^ \prime\to\kappa $ sólo significa que no hay ninguna función $g \colon\kappa ^ \prime\to\kappa $ con imágenes inversas finitas $g^{-1}(k)$ para todos $k \in\kappa $ . Se puede ver que $ \kappa ^ \prime = \aleph_0 ^ \kappa $ funciona.
Primero mostraré que si $Y$ se elige como arriba y luego todo continuo $f \colon Y \to X$ satisfacer $f(a)=f(b)$ . Entonces, mostraré cómo construir $Y$ .
Así que, supongamos que $f \colon Y \to X$ es continua con $f(a) \not =f(b)$ . Como $X$ es Hausdorff, hay barrios abiertos desarticulados $U,V$ de $f(a),f(b)$ . Además, como $Z$ tiene cardinalidad $ \kappa ^ \prime $ existe un punto $x \in X$ con $f^{-1}(x)$ que contiene un subconjunto infinito de $Z$ . Como el cierre de $f^{-1}(V)$ contiene todos los puntos de $Z$ existe un punto $c$ en la intersección de $Z$ , $f^{-1}(x)$ y el cierre de $f^{-1}(V)$ . En particular, $c$ no puede estar contenida en $f^{-1}(U)$ de lo contrario $f^{-1}(U) \cap f^{-1}(V)=f^{-1}(U \cap V)$ no estaría vacía. Esto significa, en particular, que $f(a) \not = f(c)=x$ . Entonces, como $X$ es Hausdorff, existen vecindarios abiertos desarticulados $U^ \prime ,W$ de $f(a)$ y $x$ . Entonces.., $f^{-1}(U^ \prime )$ es un conjunto abierto que contiene $a$ cuyo cierre está contenido en $Y \setminus f^{-1}(W) \subseteq Y \setminus f^{-1}(x)$ contradiciendo el hecho (de 1) de que contiene casi todos los puntos de $Z$ . QED
Ahora, construiré el espacio Hausdorff $Y$ . Deja que el conjunto de puntos en $Y$ será la colección de los siguientes puntos distintos.
- $a$ y $b$ .
- $a_{k,n}$ y $b_{k,n}$ para $k \in\kappa ^ \prime $ y $n \in\mathbb {N}$ .
- $c_k$ para $k \in\kappa ^ \prime $ .
También, que $Z= \lbrace c_k \colon k \in\kappa ^ \prime\rbrace $ que tiene cardinalidad $ \kappa ^ \prime $ . Deje que $ \mathcal U$ ser la colección de subconjuntos de $Y$ de la siguiente forma.
- $ \lbrace a \rbrace\cup\lbrace a_{k,n} \colon k \in\lambda ,n \in\mathbb {N} \rbrace $ para cualquier subconjunto de cofinita $ \lambda $ de $ \kappa ^ \prime $ .
- $ \lbrace b \rbrace\cup\lbrace b_{k,n} \colon k \in\lambda ,n \in\mathbb {N} \rbrace $ para cualquier subconjunto de cofinita $ \lambda $ de $ \kappa ^ \prime $ .
- $ \lbrace a_{k,n} \rbrace $ para cualquier $k \in\kappa ^ \prime $ y $n \in\mathbb {N}$ .
- $ \lbrace b_{k,n} \rbrace $ para cualquier $k \in\kappa ^ \prime $ y $n \in\mathbb {N}$ .
- $ \lbrace c_k \rbrace\cup\lbrace a_{k,n} \colon n \ge N \rbrace\cup\lbrace b_{k,n} \colon n \ge N \rbrace $ para cualquier $k \in\kappa ^ \prime $ y $N \in\mathbb {N}$ .
Se puede ver que la intersección de dos elementos cualesquiera de $ \mathcal {U}$ es una unión de elementos de $ \mathcal {U}$ así que define una topología para $Y$ que puede ser comprobado es Hausdorff. Finalmente si $U$ es un barrio de $a$ o $b$ entonces contiene un conjunto de la forma (1) o (2) para algún subconjunto de cofinita $ \lambda $ de $ \kappa ^ \prime $ y, por lo tanto, su cierre contiene el subconjunto de cofinita $ \lbrace c_k \colon k \in\lambda\rbrace $ de $Z$ .
