Cuando se ${\large\int}\frac{dx}{\left(1+x^a\right)^a}$ primaria a la función?

Question

Considere la siguiente integral indefinida: $$F_a(x)=\int\frac{dx}{\left(1+x^a\right)^a}.$$ Aquí $a\in\mathbb R$ es un parámetro, y $x>0$ es una variable. Para qué valores del parámetro $a$ la función de $F_a(x)$ es una función primaria de la variable $x$?

Aquí están algunos ejemplos (en cada caso, hay implícitamente una constante aditiva de la integración).

$$F_1(x)=\int\frac{dx}{\left(1+x\right)}=\ln(1+x)$$

$$F_{-1}(x)=\int\frac{dx}{\left(1+x^{-1}\right)^{-1}}=x+\ln x$$

$$F_2(x)=\int\frac{dx}{\left(1+x^2\right)^2}=\frac12\left(\frac{x}{x^2+1}+\arctan(x)\right)$$

$$F_{1/2}(x)=\int\frac{dx}{\left(1+x^{1/2}\right)^{1/2}}=\frac43\left(x^{1/2}-2\right) \left(1+x^{1/2}\right)^{1/2}$$

$$F_{1/3}(x)=\int\frac{dx}{\left(1+x^{1/3}\right)^{1/3}}=\frac9{40}\left(9-6x^{1/3}+5x^{2/3}\right)\left(1+x^{1/3}\right)^{2/3}$$

$$F_{1+\sqrt2}(x)={\large\int}\frac{dx}{\left(1+x^{1+\sqrt2}\right)^{1+\sqrt2}}=\left(x+\frac{x^{2+\sqrt2}}{\sqrt2}\right)\left(1+x^{1+\sqrt2}\right)^{-\sqrt2}$$

$$F_{1-\sqrt2}(x)={\large\int}\frac{dx}{\left(1+x^{1-\sqrt2}\right)^{1-\sqrt2}}=\left(x-\frac{x^{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}\right) \left(1+x^{1-\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}$$

$$F_{(1+\sqrt5)/2}(x)={\large\int}\frac{dx}{\left(1+x^{(1+\sqrt5)/2}\right)^{(1+\sqrt5)/2}}=x \left(1+x^{(1+\sqrt5)/2}\right)^{(1-\sqrt5)/2}$$

$$F_{(1-\sqrt5)/2}(x)={\large\int}\frac{dx}{\left(1+x^{(1-\sqrt5)/2}\right)^{(1-\sqrt5)/2}}=x\left(1+x^{(1-\sqrt{5})/2}\right)^{(1+\sqrt{5})/2}$$

Todos estos resultados pueden ser fácilmente verificado por la diferenciación. Para el caso general, Mathematica da el resultado en términos de la función hipergeométrica: $$F_a(x)=\int\frac{dx}{\left(1+x^a\right)^a}=x\cdot{_2F_1}\left(\frac1a,a;1+\frac1a;-x^a\right).$$ Para qué valores del parámetro $a$ realiza esta función hipergeométrica reducir a una función primaria?

Answer 1

Puedo dar respuestas parciales a tu pregunta :

1) $a\in \mathbb{Z}$

Cada función racional tiene primaria antiderivada.

2) $1/a\in\mathbb{Z}$.

Deje $y=x^{1/n}$. Entonces la integral se convierte en $$ n\int y^{n-1}(1+y)^{-1/n}dy$$ que puede ser resuelto por $n-1$ tiempos de integración por partes.

3) $a-1/a=n\in\mathbb{Z}$

Deje $u=x^{a}$. Entonces la integral se convierte en $$ \int u^{a-n-1}(1+u)^{-a}du=\int u^{-n-1}\left(\frac{1+u}{u}\right)^{a}du$$

Si $n\geq 1$, el uso de la sustitución de $t=(u+1)/u$, lo que da $$ -\int t^{a}(t-1)^{n-1} dt$$ y si $n\leq -1$, el uso de $t=u/(u+1)$ $$ \int t^{n-1-a}(1-t)^{-n-1} dt$$ donde ambos pueden ser resueltos mediante la integración por partes.

4) Por $a \in \mathbb{Q}$, el teorema de Chebyshev establece que si $a, b\in\mathbb{R}$$p, q, r\in \mathbb{Q}$, $\int x^{p}(a+bx^{r})^{q} dx$ puede ser expresada como función primaria el fib, al menos, uno de $(p+1)/r, q, (p+1)/r+q$ es un entero. La aplicación para nuestro caso, sólo para $a\in \mathbb{Z}$ o $1/a\in \mathbb{Z}$, $F_{a}(x)$ puede ser expresada como función primaria.