¿Cuál es el camino correcto para prolongar la serie de Fibonacci para números negativos?

Question

Tengo la sensación de que esta pregunta es un duplicado, pero no viene en "Preguntas que puedan tener ya su respuesta."

Todos sabemos muy bien que $F(0) = 0$, $F(1) = 1$ y $F(n) = F(n - 2) + F(n - 1)$ todos los $n > 1$.

Me pregunto acerca de $n < 0$. Mi primer pensamiento fue:$F(-n) = -F(n)$, lo que es atractivo de un multiplicativo punto de vista, ya que parece preservar ciertas identidades, como $F(n)^2 = F(n - 1) F(n + 1) - (-1)^n$.

Pero no acaba de tener sentido a partir de un aditivo punto de vista, no me parece para trabajar tanto "hacia delante" y "hacia atrás". Por ejemplo, nos daría $F(-1) + F(0) = -1 \neq F(1)$.

¿Cómo podemos extender $F(n)$ negativos $n$ a fin de mantener tanto las relacionadas con las identidades y la básico de la definición de la identidad?

Answer 1

$\def\zz{\mathbb{Z}} \def\matriz#1{\left[\begin{array}{c}#1\end{array}\right]}$The recurrence relation $F_{n+2} = F_{n+1}+F_n$ for every $n \in \zz$ uniquely defines the sequence in both directions once you fix $F_0 = 0$ and $F_1 = 1$. Note that $F_{-1} = 1$.

Tomar cualquier $n \in \zz$.

A continuación, $\matrix{F_{n+1}\\F_n} = \matrix{1&1\\1&0} \matrix{F_n\\F_{n-1}}$ por la recurrencia.

Por lo tanto $\matrix{F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}} = \matrix{1&1\\1&0} \matrix{F_n&F_{n-1}\\F_{n-1}&f_{n-2}} = \matrix{1&1\\1&0}^n \matrix{F_1&F_0\\F_0&F_{-1}} = \matrix{1&1\\1&0}^n$.

(Tenga en cuenta que lo anterior es válido incluso para el negativo $n$. Sólo necesitamos una inducción positiva $n$ y uno más para el negativo $n$, junto con el hecho de que $\matrix{1&1\\1&0}$ es invertible.)

Por lo tanto $F_{n+1} F_{n-1} - {F_n}^2 = \det\matrix{F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}} = (-1)^n$.

Para cualquier $n \in \zz$, contrario a su suposición de que todo se vendría abajo!

Si las matrices son nuevas para usted, vea la explicación de la motivación y la intuición detrás de las matrices.

Answer 2

De $F(n)=F(n-2)+F(n-1)$ se sigue que $F(n-2)=F(n)-F(n-1)$ cualquier $n$, en otras palabras (dejando $n$ soporte para $n+2$), $F(n) = F(n+2)-F(n+1)$. Así $F(-1)=F(1)-F(0) = 1-0 = 1$, $F(-2) = F(0)-F(1) = 0-1 = -1$, y así sucesivamente.

Usted recibirá $F(-n)=(-1)^{n+1}F(n)$, y todas las propiedades algebraicas que usted sabe de la secuencia debe ser preservada.

Las dos caras de la secuencia será $(\ldots, -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots)$.

Answer 3

Para el beneficio de aquellos que aún no han aprendido acerca de las matrices, sin embargo, aquí es un proceso de pensamiento para llegar a la respuesta por medios elementales. Por supuesto, es muy recomendable para aprender acerca de las matrices, como que le da una mayor certeza de que tienes la respuesta correcta.

Ya has visto que $F_{-n} = -F_n$ no es la respuesta, porque la recurrencia luego no funcione como se esperaba. (La notación nota: para el resto de esta respuesta, voy a usar las $n$ a la media de un número entero positivo; de curso $F_0 = 0$.)

Lo que usted necesita son la alternancia de signos, de modo que, por ejemplo, ha $-13 + 8 = -5$$8 + (-5) = 3$. Esta sería la $F_{-n} = (-1)^n F_n$. Para identidades como la relacionada $(F_{-n})^2$ que usted menciona, esto le da el derecho de resultados, por ejemplo, $8^2 = (-13)(-5) - 1$.

Pero entonces tenemos un problema en el cruce de argumentos positivos, ya que, a continuación, $F_{-1} = -1$ y, a continuación,$F_1 = -1$. Que se fija fácilmente al tener los signos se alternan de manera diferente: $F_{-n} = (-1)^{n + 1} F_n$. Nuestros ejemplos anteriores, a continuación, convertirse $13 + (-8) = 5$$-8 + 5 = -3$, e $(-8)^2 = 13 \times 5 - 1$. Y lo que es más importante, $F_{-1} = 1$, manteniendo $F_n$ familiar positiva.