Así que esta puede ser una de las más estúpidas preguntas de siempre, pero es la identidad
$$1 + 1 = 2$$
válido en cualquier base?
Parece que es así, ya que es como una base $b$
$$1 = 000\ldots 01 = (0\cdot b^n) + \ldots (1\cdot b^0) = b^0 = 1$$
Lo que significa que $1 + 1 = 2$ no importa qué base vamos a utilizar.
Es ese derecho? O es que hay algo que echo de menos?
Sí, esto es válido en cualquier base en que $1$ $2$ son los dos dígitos (así, con las convenciones estándar, cualquier base salvo base $2$). De manera más general, de un solo dígito representa siempre el mismo número, no importa lo que la base de considerar (como mucho tiempo ya que es un dígito válido en esa base). Así, por ejemplo, $3+4=7$ es válido cuando se interpreta en cualquier base (siempre y cuando la base es de al menos $8$, por lo que estos son todos los dígitos en la base).
Para ser más precisos, deberíamos ser claros para distinguir los números de las secuencias de dígitos que se puede utilizar para que los represente. Notación estándar por desgracia no hacer esto muy claro. Cuando escribimos $1+1=2$ normalmente, lo que realmente quiere decir es "la suma de la cantidad representada por $1$ en notación decimal y el número representado por $1$ en notación decimal es el número representado por $2$ en notación decimal". Así que lo "$1+1=2$ es válido en cualquier base" realmente significa es "para cualquier base $b>2$, la suma de la cantidad representada por $1$ base $b$ la notación y el número representado por $1$ base $b$ notación es el número representado por $2$ base $b$ la notación". Esto es debido a que, como se mencionó anteriormente, "el número representado por $1$ base $b$" notación es exactamente el mismo número que "el número representado por $1$ en notación decimal", y lo mismo para $2$.
Los números enteros tienen una existencia propia, independiente de cómo podemos elegir para que los represente.
La declaración de
"(el entero que se refiere el símbolo decimal 1) + (el entero que se refiere el símbolo decimal 1) = (el entero que se refiere el símbolo decimal 2)"
es, de hecho, siempre la verdad. Sea o no esto se expresa en símbolos como
"1 + 1 = 2"
depende de cómo usted elige para representar enteros.
Esa es una buena pregunta! De acuerdo a las reglas de la aritmética, 1 + 1 = 2 es una declaración verdadera acerca de los números.
Por lo tanto, cualquier forma razonable de representación de los números—si la base 2 o base 16 o en base 10— debe permitir expresar que la verdadera instrucción.
Por otro lado, tal vez usted se está preguntando acerca de los símbolos en lugar de números: tal vez usted se está preguntando si la expresión simbólica de 1+1 = 2 es cierto en cualquier base $b$ (donde interpretamos 1 y 2 como símbolos en base a $b$).
La respuesta es sí: la afirmación es verdadera en cualquier base $b>2$. La razón es que para cualquier base $b>2$, el símbolo 2 es un símbolo significativo en base a $b$; se refiere a $2\cdot b^0$. Y tenemos que $b^0 + b^0 = 2\cdot b^0$ por la aritmética— de ahí la expresión simbólica de 1 + 1 = 2 es cierto en cualquier base $b>2$.
==== mejor respuesta más breve ====
Esto no es cierto para la base 2 porque "2" no existe en la base 2.
Pero el cambio de bases no cambia lo que los números son. Sólo cambia la manera en que representamos. Así que la pregunta real es ¿"2" representa siempre el mismo número que "1 + 1" representa?
Y la respuesta es: Sí, siempre y cuando la base es mayor que 2, por lo que tiene el dígito "2".
Cualquier base de N se tiene N dígitos: {0, 1, 2,........, (N-1)}. "0" es un "null en lugar del titular" (una especie de, es un poco más complicado que eso) y {1,2,3.....,(N-1)} representa el primero de los números naturales. Así que el "2" es siempre el número que conocemos como 2 si "2" existe. "3" es siempre el número que conocemos como 3 si "3" existe.... "9" es siempre el número que conocemos como 9 si "9" exisits. Y "a" es siempre el número que conocemos como 10 si "a" existe" (que no en base 10; ... o debería decir "base"?... Que no existe en la base de las 11 que tiene los dígitos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A} que representan el valor null en lugar del titular y el primer "diez" números naturales).
Así que si "2" y "1" existe. "1 + 1" y "2" representa siempre el número que conocemos como la 2 y la suma sabemos como 1 + 1.
===== tercera respuesta =====
$a + b = c$ donde $a,b$ $c$ son solo números de dos dígitos y la base de nuestro sistema de numeración es mayor que $c$ siempre será verdadero (suponiendo, claro, que $a + b$ hace igual $c$).
Mientras que si el número de sistema de $N \le c$ o menos. $a + b = 1M$ donde $M$ es el símbolo de $c - N$.
La razón es porque los dígitos de una base de N del sistema son {0,1,....,N-1} y representar los números naturales. Si $a + b < N$ no va a ser un dígito, para que la represente. Si $a+b \ge N$ no habrá.
Así, por ejemplo, $4 + 3 =7$ para todas las bases que tienen un "$7$". es decir, todas las bases mayor que 7.
Por lo $1+1=2$ es verdadera para todas las bases que tienen un "$2$", es decir, todas las bases mayor que $2$.
O para decirlo de otra manera:
Si $a + b = c< N$, a continuación, en base N, $a + b = a*N^0 + b*N^0 = cN^0 = c$. Como $c < N$ no es una cifra que representa c$.
Si $a + b = c \ge N; 0 \le a < N; 0 \le b < N$, a continuación, en base N $a + b = a*N^0 + b*N^0 = (a+b)*N^0 = c*N^0 = (N + (c - N))*N^0 = N^1 + (c-N)*N^0$. Tenga en cuenta que$0 \le c-N < N$, por lo que no es un dígito $M = c-N$. Por lo $N^1 + (c-N)*N^0 = 1*N^1 + M*N^0 = 1M$.
==== respuesta anterior ====
Mu.... 1 y 2 son símbolos y no significan nada por sí mismos.
Cuando hacemos la base de la aritmética compartimos símbolos de dígitos.
Base1 = tiene un dígito-símbolo {1}
Base2 = tiene dos dígitos, símbolos {0,1}
Base3 = tiene tres {0,1,2}
Base 4 = tiene cuatro {0,1,2,3}
...
Y así sucesivamente.
Para todas las bases en el símbolo "1" significa "la base de un solo número.
Para todas las bases que se contienen en el símbolo "2", "2" significa que el "número después de la 1".
Para todas las bases que contengan el símbolo de "3", "3" significa que el "número después de 2".
Y así sucesivamente.
Si "2" es un símbolo en la base, entonces, sí, "2" = "el número después de la base número de" = "el número de base más el número de base" = "1+1". Que siempre será verdad.
Pero la Base 1 y Base 2 no tienen el símbolo "2".
En la base 2, 1+ 1 = 10.
En la base 1, 1 + 1 = 11.
Pero para todas las bases de > 2 que ¿ tiene el símbolo "2". 1 + 1 = 2.
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