Son infinitesimals igual a cero?

Question

Estoy tratando de entender la diferencia entre un sizeless punto y un infinitamente corto segmento de línea. Cuando llego a la noción provenientes de diferentes perspectivas de encontrar en la comunidad matemática, llego a conclusiones contradictorias, lo que significa que la comunidad matemática es proporcionar información contradictoria (no muy probable) o que no entiendo de la información proporcionada (muy probable).

Si pienso en un sizeless punto, no hay preferencial de las direcciones en ella porque es sizeless en todas las direcciones. Así que cuando trato de pensar de una línea tangente a ella, me da un número infinito de ellos, porque cualquier orientación parece aceptable. En otras palabras, si bien tiene sentido hablar de la línea tangente a una curva en un punto, creo que no tiene sentido hablar acerca de la línea tangente a un aislado sizeless punto.

Sin embargo, si pienso en un ser infinitamente corto segmento de línea, creo que de uno en el que ambos extremos están separados por un ser infinitamente corto, pero mayor que cero la distancia, y en ese caso no tengo ningún problema para visualizar la línea tangente a ella porque ya tengo una pequeña línea con una dirección específica. Puedo extender infinitamente ambos extremos del segmento, manteniendo la misma dirección que la línea ya tiene, y tengo yo una línea tangente a la primera en cualquier punto de su longitud.

Lo que esto me sugiere es que sizeless puntos no son las mismas nociones como infinitamente corto segmentos de línea. Y si recuerdo correctamente desde mis años de escuela, cuando yo estaba tomando límites que podría suponer que, como una variable se acercó a algún valor, casi nunca tengo el valor para que yo pudiera simplificar expresiones que de otro modo resultaría en 0/0 indeterminations suponiendo que representaban pequeños valores distintos de cero dividido por sí mismos y por lo tanto producirá 1. Que, de nuevo, me sugiere que infinitesimals no son iguales a cero.

Pero luego me puse con el tema acerca de 0.999... es igual a 1, lo que sugiere todo lo contrario. Con el fin de tratar de entender el reclamo, me decidí a restar uno a sí mismo y a restar 0.999... de uno, con la esperanza de llegar al mismo resultado. Ahora, restando puntos suspensivos de un número parece difícil, así que empecé por el más simple de realizar sustracciones, a ver si podía aprender nada de ellos.

1.0 - 0.9 = 0.1

Que era muy fácil. Ahora vamos a añadir un decimal 9:

1.00 - 0.99 = 0.01

Que era casi tan fácil, y un patrón parece estar emergiendo. Vamos a probar con otro:

1.000 - 0.999 = 0.001

Ver el patrón?

1.0000 - 0.9999 = 0.0001

Siempre me sale un número que comienza con '0.' y termina con '1', con un número variable de ceros en el medio, tantos como el número de decimales 9s ser sustraído, menos uno. Con eso en mente, y pensando en el botón de puntos suspensivos como la adición de decimales 9s para siempre, el número de esperaría conseguir si me realiza la resta sería algo como esto:

1.000... - 0.999... = 0.000...1

Así que si yo nunca deje de agregar decimal 9s para el número se resta, que nunca llegue a el lugar que decimal 1 en la final, debido a que los puntos suspensivos significa que nunca llegar a la final. Así que en ese sentido, yo podría entender cómo 0.999... = 1.

Sin embargo, utilizando la misma lógica:

1.000... - 1.000... = 0.000...0

Nota que no hay un decimal 1 después de los puntos suspensivos en el resultado. A pesar de que ambos números pueden ser considerados iguales, porque no puede haber nada después de los puntos suspensivos representan un número infinito de cifras decimales, la cosa es que ambos números no se pueden expresar exactamente de la misma manera. A mí me parece que 0.000...1 describe la longitud de un ser infinitamente corto segmento de línea mientras 0.000...0 describe la longitud de un sizeless punto. Y de hecho, si considero que los valores de la resta como la longitud a lo largo de un eje, entonces 1 - x, cuando x se aproxima a 1, los rendimientos de un ser infinitamente corto segmento de línea, no un sizeless punto.

Entonces, ¿qué es? Es la distancia entre los puntos (0.999..., 0) y (1.000..., 0) es igual a cero, o es sólo ligeramente mayor que cero?

Gracias!

EDITAR:

Me gustaría concluir "resumir" en mi propio no-términos matemáticos lo que yo creo que puede haber aprendido de la lectura de las respuestas a mi pregunta. Gracias a todos los que participaron!

Respecto infinitamente corto segmentos de línea y sizeless puntos, parece que son de hecho diferentes conceptos; uno parece reflejar una entidad con la misma dimensión que el intervalo es (1), mientras que el otro refleja una entidad de menor dimensión (0). En más geométrica de términos (que me parece más fácil de visualizar) interpreto que en el sentido de que un ser infinitamente corto segmento de línea representa una distancia a lo largo de un eje, mientras que un sizeless punto representa ninguna distancia.

Con respecto a infinitesimals, resulta que la mayoría de ellos no son reales, es decir, la mayoría de ellos no son parte del conjunto de los números reales; son números cuyo valor absoluto es menor que cualquier número real positivo. Pero no es un número entero (un número sin parte fraccionaria-, por lo tanto también un número real, cuyo valor absoluto es menor que cualquier número real positivo y que es cero, por supuesto, el cero no tiene una parte fraccionaria, y es menor que cualquier número real positivo. Por lo tanto, el cero es también un infinitesimal. Pero no necesariamente exactamente igual que los demás infinitesimals, porque parece que no se puede agregar cero a cualquier número de veces y llegar a un valor distinto de cero, mientras que usted puede añadir otros infinitesimals a sí mismos y llegar a los valores reales.

Y con respecto a 0.999... exactamente de 1, creo que ahora entiendo lo que está pasando. En primer lugar, me disculpo por mi uso de un lugar no convencional de notación, por lo poco convencional que aún no sabía exactamente lo que significaba. Las expresiones '0.999...', '1.000...' y '0.000...' no representan valores numéricos, pero los procedimientos que se pueden seguir para construir un valor numérico. Por ejemplo, en un contexto diferente, '0.9..." podría leerse como:

1) Start with '0.'
2) Add decimal '9'
3) Goto #2.

Y la clave es el bucle sin fin.

El problema que mintió en la interpretación geométrica en mi mente de la serie de sustracciones he presentado; empecé con una unidad de segmento largo, con una muesca en el 90% de la distancia entre ambos extremos, lo que representa una izquierda sub-segmento de 0,9 unidades de longitud y un derecho sub-segmento de 0,1 unidades. A continuación, fui la muesca 90% más cerca del extremo de la derecha, gira a la izquierda sub-segmento de 0.99 unidades de largo y el derecho a 0,01. Luego he ampliado mi mente en el derecho de sub-segmento y de nuevo se trasladó a la muesca para cubrir el 90% de la distancia restante, llegar 0.999 unidades de la longitud de un lado y 0.001, por el otro. Un par de iteraciones más me ha llevado erróneamente a la conclusión de que el resto de la distancia es siempre mayor que cero, independientemente del número de veces que el zoom y se trasladó a la muesca.

Lo que no me había dado cuenta es que cada vez que me detuve a examinar en mi mente el resto de la distancia a la derecha de la muesca, yo era el examen de los efectos de un número finito de iteraciones. Primero fue uno, luego dos, luego tres y así sucesivamente, pero en ninguna de esas ocasiones me había llevado a cabo un número infinito de iteraciones antes de examinar el resultado. Cada vez que me he parado a pensar, me estaba rompiendo la instrucción #3. Así que lo que me dieron no era una interpretación geométrica de '0.999...' pero una interpretación geométrica de los '0.' seguido por un indeterminado pero número finito de decimales 9s. No es lo mismo.

Ahora puedo ver cómo no importa lo que se escribe después de los puntos suspensivos, porque nunca llegar. Es como escribir un cuarto y la posterior instrucciones en el programa poco me estoy comparando la notación a:

1) Start with '0.'
2) Add decimal '9'
3) Goto #2.
4) Do something super awesome
5) Do something amazing

No importa lo que esos increíbles y super impresionante de cosas puede ser, porque ellos nunca se realizó; son información sin relevancia alguna. Por lo tanto,

0.000...1 = 0.000...0 = 0.000...helloiambob

Y por lo tanto,

(1.000... - 0.999...) = 0.000...1 = 0.000...0 = (1.000... - 1.000...)

Probablemente no muy convencional, pero al menos yo lo entiendo. Gracias de nuevo por toda su ayuda!

Answer 1

"Creo que de uno en el que ambos extremos están separados por un ser infinitamente corto, pero mayor que cero distancia"

Que no existe dentro de los números reales. Entonces, ¿qué piensa usted de "infinitamente corto segmento de línea" no existe en el contexto de los números reales.

"Y si recuerdo correctamente desde mis años de escuela, cuando yo estaba tomando límites que podría suponer que, como una variable se acercó a algún valor, casi nunca tengo el valor para que yo pudiera simplificar expresiones que de otro modo resultaría en 0/0 indeterminations suponiendo que representaban pequeños valores distintos de cero dividido por sí mismos y por lo tanto producirá 1. Que, de nuevo, me sugiere que infinitesimals no son iguales a cero."

Cuando se toma un límite $\lim_{x\to 0} f(x)$, $x$ no es un "infinitesimal." Usted es más probable atascado debido a que sólo tiene una idea intuitiva de límite, le sugiero que busque una definición rigurosa de límite. Además, con respecto a las simplificaciones de expresiones indeterminadas, aquí hay algunas preguntas que pueden ayudarle a: aquí y aquí.

Con respecto a $0.9$, $0.99$, etc.

Es cierto que para cualquier número finito de nueves, usted puede terminar con un uno en la final, es decir, $$1 - 0.\underbrace{99...99}_{n} = 0.\underbrace{00...00}_{n-1}1.$$

Sin embargo, no estamos hablando de un número finito de nueves, estamos hablando sobre el límite de lo que puede ser rigurosamente demostrado ser $1$, es decir,

$$\lim\limits_{n\to\infty} 0.\underbrace{99...99}_n = 1.$$

"Entonces, ¿qué es? Es la distancia entre los puntos de $(0.999..., 0)$ $(1.000..., 0)$ igual a cero, o es sólo ligeramente mayor que cero?"

Es (exactamente!) cero, porque definimos $0.999...$ como el límite de la secuencia de $(0.9, 0.99, 0.999,...)$, que pasa a ser $1$.

Answer 2

Vamos a poner la pregunta como esta.

Hay un número de $a$ que ostenta $0 < a < r$ para todos los reales positivos ("regular") número de $r$?

Pero parte de la pregunta es que faltan: donde estamos buscando a este número? Si estamos buscando en el conjunto de números de contar, $ℕ$, entonces la respuesta es bastante evidente, no. Si estamos buscando en el conjunto de los números reales, la respuesta es que todavía no.

Así que donde más podemos buscar? O posiblemente, ¿cómo podemos definir un número en una forma que tenga sentido?

Matemáticas es todo acerca de venir para arriba con mucho cuidado las definiciones de las cosas. Hay todo tipo de entidades matemáticas que puede ser llamado infinitamente grande (aquí es bastante vertiginoso introducción, a pesar de yo estar en desacuerdo con algunas de las caracterizaciones), y a veces estas entidades, incluso tienen la misma notación. Algunos ejemplos de símbolos de infinito de las entidades de la $ℵ_0$, $ε_0$, y $∞$ (lo que, en particular, puede representar diferentes entidades matemáticas). Estas entidades no son necesariamente "mayor" o "menor" a la una de la otra, aunque pueden ser muy diferentes. Ninguno de ellos son números reales, a pesar de que tienen algún número de rasgos.

La notación $0.9999....$ es generalmente llevado a ser equivalente a la siguiente fórmula:

$$\sum_{n=1}^{∞}9⋅{1\over 10^n} = 0.9 + 0.09 + 0.009 + \cdots$$

Que, dado el derecho de las definiciones de infinitas sumas de dinero, exactamente igual a $1$. Si no te gusta la definición del símbolo $0.9999...$ (o la definición de una infinita suma), entonces podría significar algo más para usted. Pero entonces estaría hablando un idioma diferente al del resto de nosotros.

La notación $0.0000...1$, en realidad no tiene un significado bien definido, y es difícil darle un sentido. (¿Cuántas $0$s hay antes de la $1$? Infinitamente muchos? ¿Y eso qué significa?). En una cierta luz, se puede ver como el límite de la secuencia:

$$0.1, 0.01, 0.001, ...$$

Entonces es igual a $0$ (teniendo en cuenta el derecho de las definiciones de límite y de la secuencia y así sucesivamente). Pero no creo que la notación debe ser utilizado porque es muy confuso e innecesario. Y si no se define que la notación, no significa nada.

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Ahora, es posible definir un grupo de entidades que son infinitamente pequeñas, pero son diferentes de $0$. No es muy fácil de definir (la gente sólo trabajó cómo hacerlo correctamente en el siglo 20), pero el resultado es muy intuitiva y se comporta muy bien.

Son llamados los Hyperreal números. Este conjunto también incluye infinitamente grandes números, y de alguna manera responde a la pregunta de qué sucede cuando multiplicamos el uno con el otro.

En el sistema de la hyperreals, existen infinitesimals (a menudo denotado $\epsilon$) que sostienen $0 < \epsilon < r$ para todos los reales positivos ("regular") número de $r$. Así que es más pequeño que cualquier miembro de la secuencia:

$$0.1, 0.01, 0.001, ...$$

Pero es mayor que $0$, que es el límite de esa secuencia. Pero, en cualquier caso, el número de $\epsilon$ y sus becarios no están realmente relacionados con los números reales directamente. Son como de otro tipo especial de número que se coló entre ellos. No tiene una representación decimal*, y de hecho, no podemos decir mucho acerca de ellos además de que puede existir, y si tienes que elegir uno que se comporta en cierto modo intuitivo.

Si hyperreal números están bien, entonces la respuesta es sí. Hay un par de variedades especiales de número que puede ser considerado demasiado. Básicamente, una intuición para "infinitamente pequeñas cantidades" puede ser hecho para tener sentido.

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Definitivamente eres la derecha que no puede haber un número infinito de líneas "tangente" a un punto. Pero generalmente hablamos de la tangente a una función o curva en un punto, que es visualmente tipo de intuitivo, aunque tratando de decirlo en términos técnicos puede ser un poco complicado.

En sentido denotar la longitud usando hyperreal infinitesimals, y usted puede tener un segmento de recta de longitud infinitesimal. De hecho, no-estándar de análisis, el principio de la aplicación de hyperreal números, define las cosas como los derivados y los límites de uso de infinitesimals de una manera que es equivalente a la definición estándar**.

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* En realidad hiper-reales tiene una representación decimal, pero tiene todo tipo de intuitivo cualidades, y siento que mencionar que iría en detrimento de la cuestión a mano.

** es decir, el límite de $\lim_{x → k} f(x)$ es el mismo si usted utiliza un método u otro, y existe el uso de una definición, si y sólo si existe el uso de los otros.

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Ediciones:

• Menciona @Hurkyl del punto sobre la hiper-reales de tener un decimal de expansión, pero es algo complicado y no quiero entrar en eso aquí.
• Aclarado @MikhailKatz el problema con la frase coincide con y cambió a algo más clara.

Answer 3

"los puntos (0.999..., 0) y (1.000..., 0)" son uno y el mismo punto en $\mathbb{R}^2$. Como $(3^2, (5-1)/2)$ $(9,2)$ son el mismo punto.

Reiterar $0.999\dots$ no es sino otra forma de representar el número de $1$.

Sin embargo, $0.000...1$ simplemente no tiene de común acuerdo sobre el significado. Para mí, la notación es indefinido. Usted puede asignar un significado a él si quiere. Entonces, esta notación puede ser intuitiva y útil o no. Pero antes de que podamos hablar de esto usted debe darle algún significado.

Usted sólo puede iniciar a partir de una cadena de símbolos y tratar de derivar de lo que podría significar. Es necesario asignar un significado a la cadena o usar el sentido otros, asignados a la misma.

Answer 4

Para responder a su pregunta "¿infinitesimals igual a cero?" se pueden mencionar las siguientes. Leibniz utilizó la igualdad símbolo para denotar la relación entre dos números que se diferencian por un infinitamente pequeño número. En particular, podría escribir que $\epsilon=0$ si $\epsilon$ es un infinitesimal. En este esquema de cosas un infinisimal de hecho es igual a cero. Hoy queremos usar una notación diferente para una relación. Por ejemplo, podríamos escribir $a\approx b$ si $a-b$ es infinitesimal. Euler distingue entre dos modos de comparación, que él llamó geométrica y aritmética. La denotamos $\approx$ es lo que él haría referencia a como la aritmética. El modo geométrica, que se denota por conveniencia por $\;{}_{\ulcorner\!\urcorner}$ $a \;{}_{\ulcorner\!\urcorner}\; b$ corresponde a la relación de $\frac{a}{b}$ siendo infinitamente cercana a $1$.

Del mismo modo, uno puede tener una infinidad de $9$s de un decimal $0.999\ldots 9$ (con un final $9$ a un rango infinito) que es infinitamente cerca de $1$, pero todavía estrictamente menor que $1$.

La diferencia entre un ser infinitamente segmentos cortos y sizeless puntos es que los primeros tienen la misma dimensión, es decir,$1$, mientras que el intervalo (es decir, $[0,1]$) lo conforman, mientras que las segundas tienen menor dimensión, es decir,$0$.

Answer 5

¿De qué color es un widget? Usted no puede contestar porque no es la definición de un widget. Es $0.\bar 9=1$ ? Usted no puede contestar a menos que tenga una def n de $0.\bar 9,$ y no se puede definir como la menor cota superior de a $ \{0.9,0.99,0.999,...\} $ menos que haya un mínimo de límite superior, y no se puede probar que, salvo que se defina la estructura algebraica $\mathbb R$ llama el número real del sistema, y definir $0.\bar 9$ como la menor cota superior, EN $\mathbb R,$ $\{0.9,0.99,...\}.$

El sistema de $\mathbb R$ puede ser ampliado a un mayor número de sistemas. Estos otros sistemas, los números que son positivos, pero más pequeño que cualquier miembro positivo de $\mathbb R.$ Sus recíprocos son más grandes que cualquier miembro de $\mathbb R.$ Sus reglas básicas de la aritmética son las mismas reglas que para $\mathbb Q$ $\mathbb R.$ La principal característica que $\mathbb R$ tiene de que no es la existencia de al menos una cota superior para todos los no-vacío subconjunto que tiene un límite superior. Esto es debido a que $\mathbb R$ se define como un ordenado-aritmética extensión de $\mathbb Q$ con esta propiedad, y es un teorema que sólo una extensión es posible.

En las extensiones de $\mathbb R$, $0.\bar 9$ no tiene ningún significado y $\sup\{0.9,0.99,...\}$ no existe.

Lo que necesitas es leer acerca de la axiomática bases de $\mathbb R.$ No es bueno en el tratamiento de esta en muchos textos.... Recuerdo una sección en "Topología" por Choquet (que no es un libro acerca de la topología, pero sobre análisis) y una sección en el primer capítulo de "Series de Fourier" por Carslaw. Pero hay muchos otros, como este es necesario saber para hacer sentido de cálculo, por ejemplo.