Internacional de Matemáticas Olimpiada de 1988 Problema 6: solución canónica?

Question

Problema 6 de la Internacional de la Olimpiada de Matemáticas ( IMO ) de 1988 notoriamente preguntó:

Deje $a$ $b$ ser enteros positivos. Vamos $k = {\, a^{2}\,\, +\,\, b^{2}\, \over 1\,\, +\,\, ab}$. Mostrar que si $k$ es un número entero, a continuación, $k$ es un cuadrado perfecto.

La forma habitual para mostrar esto implica una técnica llamada Vieta saltar. Ver Wikipedia o este MSE post.

Puedo seguir la Vieta de salto de prueba, pero parece un poco tensa para mí. Que jugar con las ecuaciones que por arte de magia en la final. No veo cómo alguien podría haber llegado con ese problema con esa prueba.

Hay una natural o canónica manera de ver la respuesta al problema, tal vez usando (resumen) el álgebra o herramientas más potentes? Relatedly, ¿cómo alguien puede venir para arriba con un problema como este?

Answer 1

En el corazón de estos llamados "Vieta-saltar" las técnicas son ciertas simetrías (reflexiones) en los cónicos. Estas simetrías rigen el descenso en el grupo de los enteros puntos de la cónica. Si usted desea entender estas pruebas desde una perspectiva más profunda recomiendo que estudies desde esta perspectiva más general (allí se encuentra gran parte de la belleza y de la unificación).

El grupo de leyes en los cónicos puede ser visto esencialmente como casos especiales de el grupo la ley sobre curvas elípticas (por ejemplo, véase Lemmermeyer del "pobre hombre" papeles), que es una perspectiva útil para saber. Véase también Sam Northshield de exposiciones en la asociatividad de la secante método (enlaces).

Si la memoria sirve correcto, muchas de estas concurso de problemas que están estrechamente asociados con la llamada Richaud " -Degert cuadrática irrationals, que han corto continuó fracción expansiones (o, de manera equivalente, las pequeñas unidades fundamentales). La búsqueda de "Richaud " Degert", etc debe localizar la literatura pertinente. Muchos de los resultados clásicos están redactadas en el idioma de ecuaciones de Pell, pero normalmente no es difícil de traducir los resultados en más lenguaje geométrico.

Así que, en resumen, su consulta acerca de un "natural o canónica manera de ver la respuesta al problema" se da una hermosa respuesta a la hora de estudiar el grupo de leyes de cónicas (y estrechamente relacionado con los resultados, tales como la teoría de ecuaciones de Pell). El estudio de estos resultados se proporcionan mucha motivación y la intuición para las generalizaciones, tales como las leyes sobre curvas elípticas.

Answer 2

La idea ha sido conocida (al menos), ya que de Gauss "disquisitiones Arithmeticae" hace 200 años. "Vieta salto" es un nombre que se utiliza sólo en la competencia manuales, el término aceptado en las matemáticas como "la reducción de la teoría de las formas cuadráticas". La reducción de la teoría de la solución es la solución canónica, y yo no conozco a ninguna de las soluciones utilizando otros métodos, pero algunas de las presentaciones de este método puede hacer que parezca artificial.

La razón más competidores no resuelven el problema es que en el pintoresco días, estudiantes de la escuela secundaria no eran aprendizaje de maquinaria pesada antes de ir a la OMI.

Incluso a sabiendas de la teoría, puede ser que no sea fácil reconocer dentro de un par de horas para que el problema se reduciría a una aplicación directa de la 'rotación' grupo de los enteros puntos de la cónica (mostrando que cualquier número entero positivo de la solución puede ser movido a una más pequeña con $ab=0$) escribiendo la ecuación como $a^2 - kab + b^2=k$ y girando la manija. Despojado el cálculo de los detalles, que es lo que la solución no.

También era conocido desde el 1800 que este tipo de forma cuadrática tiene propiedades especiales y es más fácil de analizar.

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Para el grado $(2,2,...,2)$ ecuaciones de total más alto grado, como el de Markov triples (soluciones de $x^2+y^2+z^2=3xyz$), la "Vieta" la transformación no tiene un nombre específico, pero ha sido la principal herramienta para la organización de las soluciones desde los primeros papeles en el $19$th siglo donde estas ecuaciones fueron analizados.

https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hurwitz_equation

Answer 3

La misma página de la Wikipedia cita de Arthur Engel sobre la historia del problema.

Nadie de los seis miembros de la Australiana problema comité podría solucionarlo ... fue [entonces] envió a los cuatro más famoso de Australia número de teóricos. Se les pidió a trabajar en él durante seis horas. Ninguno de ellos pudo resolverlo en este momento ... el jurado finalmente tuvo el coraje de elegir como el último de los problemas de la competencia. Once estudiantes dieron soluciones perfectas.

Se suponía que los Australianos habían tratado de resolver el problema con más herramientas generales y error, y que la idea de Viète salto fue creado específicamente para este problema.

Otra razón por la que Viète de salto es la solución canónica del problema es que los problemas de la OMI suelen tener sólo un par de soluciones, con premios especiales dado particularmente ingenioso, como a Boreico Iurie para la OMI 2005 Q3:

Deje $x,y,z\in\Bbb R^+$ tal que $xyz\ge1$. Demostrar que $$\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2}\ge0.$$

(Yo tengo esto de un libro sobre las matemáticas olimpiadas en China desde 2003 a 2006, que tuvo la OMI problemas de integridad.) En particular, el Viète saltar la prueba es el único con las matemáticas suficientemente simple como para que un competidor a entender.

Si usted insiste en una forma más "natural" de la solución, una interpretación geométrica de la técnica es también en la página de Wikipedia, la participación de celosía puntos en una hipérbola. Dubuque la respuesta tiene más información sobre esto, incluyendo las posibles fuentes para el problema.

Answer 4

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