Probabilidad con variables desconocidas

Question

Una urna contiene $10$ canicas rojas y $10$ canicas negras mientras que una segunda urna contiene $25$ canicas rojas y un desconocido número de canicas negras. Se seleccionará una canica al azar de cada urna y se determinará la probabilidad de que ambas canicas sean iguales. El profesor ha dado una pista: la probabilidad NO depende del número de canicas desconocidas. Comprueba que es así.

Llamemos $N$ el número desconocido de canicas.

Escribí todas las formas posibles de seleccionar una canica de cada urna, seleccionando una canica roja de ambas urnas $1$ y urna $2$ y seleccionando una canica negra de la urna $1$ y $2$ y esto es lo que obtuve:

• Número de formas de seleccionar una canica de cada urna: $ \binom{20}{1}\binom{25+N}{1}$

• Número de formas de seleccionar $1$ mármol rojo de ambas urnas $1$ y urna $2$ : $\binom{10}{1}\binom{25}{ 1}$

• Número de formas de seleccionar $1$ mármol negro de urna $1$ y urna $2$ : $\binom{10}{1}\binom{N}{ 1}$

Y esto es lo que obtuve como ecuación final para averiguar la probabilidad de seleccionar la canica del mismo color de cada urna: $\dfrac{\binom{10}{1}\binom{25}{ 1}+\binom{10}{1}\binom{N}{ 1}}{\binom{20}{1}\binom{25+N}{1}} $

Estoy confundido sobre cómo la probabilidad no depende del número desconocido de canicas negras en la urna $2$ ? Cualquier ayuda será muy apreciada, ¡muchas gracias!

PD: También he buscado en stack exchange un problema similar a este y no he encontrado ninguno. Si esta pregunta ya se ha formulado, pido disculpas.

Answer 1

Una breve explicación de por qué esto es así, es que en lugar de coger ambas canicas simultáneamente, elijamos primero una canica de la extraña bolsa .

Una vez hecho esto, será de algún color, ya sea negro o rojo. Ahora, escoge una canica de las que tienen una cantidad par de cada color. Independientemente del color elegido en el primer paso la probabilidad de que elija el mismo color será $\frac{1}{2}$ .

Con símbolos, que $B_1,R_1,B_2,R_2$ representan los eventos de coger una canica negra o roja de la primera o segunda bolsa respectivamente. Que la "segunda bolsa" sea la que tiene el número desconocido de canicas negras.

Tenemos:

$$\begin{array}{rl}Pr(\text{colors are same}) &= Pr((B_2\cap B_1)\cup (R_2\cap R_1)) \\&= Pr(B_2)Pr(B_1|B_2)+Pr(R_2)Pr(R_1|R_2)\\ &=\frac{1}{2}Pr(B_2)+\frac{1}{2}Pr(R_2)\\ &=\frac{1}{2}(Pr(B_2)+Pr(R_2))\\ &=\frac{1}{2}\end{array}$$

Para ello se utiliza el principio de multiplicación $Pr(A\cap B) = Pr(A)Pr(B|A)$

Answer 2

Supongamos que la probabilidad de sacar una canica roja de la segunda urna es $p$ . De ello se deduce que la probabilidad de sacar dos canicas rojas es $$\frac 12p$$

Pero entonces la probabilidad de sacar una canica negra de la segunda urna es $1-p$ por lo que la probabilidad de sacar dos canicas negras es $$\frac 12(1-p)$$

Como son sucesos disjuntos sumamos las probabilidades para ver que la probabilidad de que las dos canicas aleatorias compartan un color es $$\frac 12(p+(1-p))=\frac 12$$

Answer 3

Pista:

$\dfrac{\binom{10}{1}\binom{25}{ 1}+\binom{10}{1}\binom{N}{ 1}}{\binom{20}{1}\binom{25+N}{1}} =\frac{\binom{10}{1}\cdot\left[\binom{25}{ 1}+\binom{N}{ 1} \right]}{20\cdot(25+N)}=\frac{10\cdot (25+N)}{20\cdot (25+N)}$

Answer 4

Sea $p$ es la probabilidad de extraer una canica roja de la segunda urna, por lo que $1-p$ es la probabilidad de sacar una canica negra. Entonces la probabilidad de que las canicas coincidan es

$$ P(\text{match}) = \left(\frac{1}{2}\right)p + \left(\frac{1}{2}\right)(1-p) = \frac{1}{2} $$