Problema: Encontrar los enteros que satisfacen $x^2+y^2+z^2=5(xy+yz+zx)$.
¿La siguiente parametrización dar todas las soluciones:
$x=m^2+mn-5n^2$;
$y=-5m^2+9mn-3n^2$;
$z=-3m^2-3mn+n^2$,
donde $m,n$ son enteros arbitrarios.
También, todos permutaciones de este y todas las permutaciones con cada uno mutliplied $-1$, p. ej.
$x=-m^2-mn+5n^2$;
$y=5m^2-9mn+3n^2$;
$z=3m^2+3mn-n^2$,
etc.
Sí, todas las primitivas de soluciones de salir de esta, con las simetrías y la negación de las tres entradas a la vez. Para obtener absolutamente todo, multiplicar estas tripletas por cualquier entero distinto de cero.
La matriz de la ecuación se resuelve por el equipo, con un límite (9) en la matriz de entradas suministradas por mí, se $R^T G R = 196 H,$ donde $$ G = \left( \begin{array}{rrr} 2 & -5 & -5 \\ -5 & 2 & -5 \\ -5 & -5 & 2 \end{array} \right) $$ y $$ H = \left( \begin{array}{rrr} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right) $$
Las matrices que se va a aplicar el vector columna
$$
\left(
\begin{array}{c}
u^2 \\
uv \\
v^2
\end{array}
\right)
$$
que da a todas las primitivas de la solución de vectores $(x,y,z)$ (a a $\pm$) a
$$ y^2 - zx = 0. $$
Dicho de otra manera, todas las soluciones provienen de estas multiplicando por un número entero distinto de cero.
La existencia de un número entero de la matriz de este tipo es garantizada por el Teorema I. 9 en la página 15 de PLESKEN; ES decir, Automorphs de Ternario Cuadráticas Formas, por William Plesken, páginas 5-30 Ternario Cuadráticas Formas y Normas, (1982), editado por Olga Taussky. Este es originalmente en las páginas de 507-508 de Fricke y Klein (1897), que puede ser leído en línea
He escrito algunos caracteres adicionales en su matriz para hacer más fácil su localización.
./homothety_indef 1 1 1 -5 -5 -5 0 196 0 0 -196 0 9
note that the final 9 is the bound on absolute values of matrix entries
Mon Mar 23 12:01:09 PDT 2015
-5 -9 -3
-3 3 1
1 -1 -5
-5 -1 1
-3 -9 -5
1 3 -3
-5 1 1
-3 9 -5
1 -3 -3
-5 9 -3
-3 -3 1
1 1 -5
-5 -9 -3
1 -1 -5
-3 3 1
-5 -1 1
1 3 -3
-3 -9 -5
-5 1 1
1 -3 -3
-3 9 -5
-5 9 -3
1 1 -5
-3 -3 1
-3 -9 -5
-5 -1 1
1 3 -3
-3 -3 1
-5 9 -3
1 1 -5
-3 3 1
-5 -9 -3
1 -1 -5
-3 9 -5
-5 1 1
1 -3 -3
-3 -9 -5
1 3 -3
-5 -1 1
-3 -3 1
1 1 -5
-5 9 -3
-3 3 1
1 -1 -5
-5 -9 -3
-3 9 -5
1 -3 -3
-5 1 1
-1 -3 3
3 9 5
5 1 -1
-1 -1 5
3 3 -1
5 -9 3
-1 1 5
3 -3 -1
5 9 3
-1 3 3
3 -9 5
5 -1 -1
-1 -3 3
5 1 -1
3 9 5
-1 -1 5
5 -9 3
3 3 -1
-1 1 5
5 9 3
3 -3 -1
-1 3 3
5 -1 -1
3 -9 5
1 -3 -3
-5 1 1
-3 9 -5
1 -1 -5
-5 -9 -3
-3 3 1
1 1 -5 =-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
-5 9 -3
-3 -3 1
1 3 -3
-5 -1 1
-3 -9 -5
1 -3 -3
-3 9 -5
-5 1 1
1 -1 -5
-3 3 1
-5 -9 -3
1 1 -5
-3 -3 1
-5 9 -3
1 3 -3
-3 -9 -5
-5 -1 1
3 -9 5
-1 3 3
5 -1 -1
3 -3 -1
-1 1 5
5 9 3
3 3 -1
-1 -1 5
5 -9 3
3 9 5
-1 -3 3
5 1 -1
3 -9 5
5 -1 -1
-1 3 3
3 -3 -1
5 9 3
-1 1 5
3 3 -1
5 -9 3
-1 -1 5
3 9 5
5 1 -1
-1 -3 3
5 -9 3
-1 -1 5
3 3 -1
5 -1 -1
-1 3 3
3 -9 5
5 1 -1
-1 -3 3
3 9 5
5 9 3
-1 1 5
3 -3 -1
5 -9 3
3 3 -1
-1 -1 5
5 -1 -1
3 -9 5
-1 3 3
5 1 -1
3 9 5
-1 -3 3
5 9 3
3 -3 -1
-1 1 5
-196 : 1 1 1 -5 -5 -5
-7529536 : 0 196 0 0 -196 0
Mon Mar 23 12:01:09 PDT 2015
Tenga en cuenta que hay un molesto complicación aquí acerca de la prime $7.$ es posible, precisamente cuando mi $v \equiv 5 u \pmod 7,$ a las tres de la mi $x,y,z$ divisible por $7.$ sin Embargo, y aún estoy a la mano saludando aquí, cuando eso sucede, podemos dividir a través de por $7$ y producir el resultado de una diferente $(u,v)$ par. El punto, en realidad, es que todos los binarios cuadrática formularios utilizados son equivalentes a $u^2 + 3 uv - 3 v^2$ de discriminante $21.$ Cuando se divide por $7,$ llegar la derecha.
Martes, 24 de Marzo: contentos de que yo era capaz de llenar los espacios en blanco en cuanto al primer $7.$ Si tenemos el triple divisible por $7,$ esto significa que podemos escribir (con el original de $(m,n)$ letras, $$ n = 5m + 7 t, $$ porque tenemos $n \equiv 5m \pmod 7.$ Todas las tres fórmulas en la pregunta original convertirse divisible por $7,$ y se divide para obtener $$ \frac{m^2 +mn-5n^2}{7} = -17 m^2 - 49 mt - 35 t^2, $$ $$ \frac{-5m^2 +9mn-3n^2}{7} = -5 m^2 - 21 mt - 21 t^2, $$ $$ \frac{-3m^2 -3mn +n^2}{7} = m^2 + 7 mt + 7 t^2. $$
Por el procedimiento de mano a partir de aquí sería un desastre, pero hice una búsqueda para encontrar un simultánea de sustitución que hace a la cosa deseada; el (entero invertible!!) cambio de variables $$ m = 3r-2s , \; \; \; \; t = -2r + s. $$ Los resultados son gratificantes: obtenemos $$ \frac{m^2 +mn-5n^2}{7} = r^2 + rs - 5 s^2, $$ $$ \frac{-5m^2 +9mn-3n^2}{7} = -3 r^2 - 3rs + s^2, $$ $$ \frac{-3m^2 -3mn +n^2}{7} = -5r^2 + 9rs - 3 s^2. $$ Combine esto con una permutación, y la tenemos.
Comentario Final: las matrices llamé $R$ proporcionada por el primer equipo tienen determinante $\pm 196.$ es decir, son singulares en el campo de la $7$ elementos, pero también singular en el campo de la $2$ elementos. Este parece mal, pero no lo es. Los vectores propios con autovalor $0$ $\mathbb Z / 2 \mathbb Z$ $(0,1,1), \; \; $ $(1,0,1), \; \; $ $(1,1,0). \; \; $ sin Embargo, estamos aplicando un $R$ $(u^2, uv,v^2)$ con enteros $u,v$ relativamente primos (no ambos inclusive). La posible dichos vectores $(1,1,1), \; \; $ $(1,0,0), \; \; $ $(0,1,0), \; \; $ $(0,0,1). \; \; $ Así que, esto no es un problema.
Si podemos reescribir la ecuación que qget: $16z^2−(3y+5z)^2+21(\frac{2x−5y−5z}{7})^2=0$
que es de la forma $$16X^2+21Y^2=Z^2$$ Ahora para encontrar todas las soluciones, necesitamos una primitiva de la solución a esta ecuación la cual puede ser determinada por sus fórmulas, y todas las soluciones a esta ecuación puede ser encontrado por un cuadrática fórmulas para más detalles ver esta respuesta (@Se Jagy)
Y, finalmente, usted puede comprobar si tiene los mismos trajes de etiqueta , si es el caso, entonces usted tiene cubiertos todos los primitivos soluciones, si usted no tiene las mismas fórmulas que se tiene que hacer un cambio adecuado de las variables.
De noviembre de 2015:
Yo he hecho un montón de trabajo sobre el problema de las variables de tipo integer $(x,y,z)$ en $$ A (x^2 + y^2 + z^2) - B(yz + zx + xy) = 0, $$ with integers $B > a > 0,$ also $\gcd(a,B) = 1,$ de febrero a abril de 2015. Si hay soluciones, que requiere tanto de la $B-A$ $B + 2A$ a ser expresable como la $s^2 + 3 t^2$ en números enteros, entonces no es muy atractivo tipo de solución. La observación fundamental está en las páginas 507-508 de FRICKE KLEIN (1897). El truco que puede ser utilizado en este problema en particular, cualquier $(A,B),$ es que hay elementos de orden $3$ en el modular grupo $SL_2 \mathbb Z.$ Los tres binarios cuadrática de las formas que se muestran son "equivalentes" a cada uno de los otros por la acción de un orden de tres elementos, con su plaza y el cubo (la identidad). Muy bonita la forma en que trabajó, algo que no podría haber entendido antes de tiempo.
Con $A=1, B=5,$ sólo necesitamos una "receta"," $$ X_0 = 5 u^2 + 9 u v + 3 v^2, $$ $$ Y_0 = 3 u^2 -3 u v + v^2, $$ $$ Z_0 = - u^2 + u v + 5 v^2. $$ Le cambie el nombre de estos como $x,y,z$ y permutar tal que $|x| \geq |y| \geq |z|.$ el Próximo, si $x < 0,$ negamos todos los tres, con el convenio que $$ x \geq |y| \geq |z|. $$ No es obvio, pero resulta que $y$ es positivo también aquí, esto es sólo algunos inequalies con números reales, nada que ver con números enteros. Terminamos con $$ x \geq y \geq |z|. $$ Con esto en mente, tenemos todas las soluciones mediante la toma de $u,v$ $\gcd(u,v)=1.$ La parte que fue sorprendente, y bastante inusual, es que se nos puede exigir $u,v \geq 0,$ y aún así obtener todas las soluciones. Por último, es posible para $X_0, Y_0,Z_0$ tienen un factor común, aunque $u,v$ no. Debemos descartar tales imprimitive triples. También, es muy rápido para encontrar todas las soluciones en una gran esfera en torno al origen, porque $$ x^2 + y^2 + z^2 = 35 \left( u^2 + uv + v^2 \right)^2 $$
In the output below, compare the raw list of such ordered solutions, after the command line
isotropy_just_ordered 1 5 500
with the solutions produced from the triple of binary quadratic forms, after the command line
isotropy_binaries_combined 1 5 500 | sort -n
.................................
jagy@phobeusjunior:~$ ./isotropy 1 5
A = 1 B = 5
5 9 3
3 -3 -1
-1 1 5
end of A = 1 B = 5
B - 2 A = 3 B - A = 4 B + 2 A = 7
gcd( 4B-4A, B+2A) = 1
lambda = 7 t = 1 lambda t = 7
2 alpha - beta + 2 gamma = 7
alpha^2 + (alpha - beta + gamma)^2 + gamma^2 = 35
beta^2 - 4 alpha gamma = 21
matrix determinants = +/- 196 = 2^2 * 7^2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
jagy@phobeusjunior:~$
jagy@phobeusjunior:~$ ./isotropy_just_ordered 1 5 500
5 3 -1
17 5 -1
41 5 3
59 47 -15
75 17 -1
89 83 -25
101 47 -15
111 17 5
129 125 -37
173 59 -15
185 131 -43
185 167 -51
201 83 -25
215 41 3
227 41 5
237 89 -25
251 215 -67
255 131 -43
293 255 -79
311 125 -37
327 269 -85
335 129 -37
353 75 -1
381 257 -85
383 101 -15
395 167 -51
425 419 -123
453 335 -109
461 75 17
479 257 -85
489 215 -67
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
jagy@phobeusjunior:~$ ./isotropy_binaries_combined 1 5 500 | sort -n
x y z first binary form u v
5 3 -1 < 5, 9, 3 > 1 0
17 5 -1 < 5, 9, 3 > 1 1
41 5 3 < 5, 9, 3 > 2 1
59 47 -15 < 5, 9, 3 > 1 3
75 17 -1 < 5, 9, 3 > 3 1
89 83 -25 < 5, 9, 3 > 1 4
101 47 -15 < 5, 9, 3 > 2 3
111 17 5 < 5, 9, 3 > 3 2
129 125 -37 < 5, 9, 3 > 1 5
173 59 -15 < 5, 9, 3 > 5 1
185 131 -43 < 5, 9, 3 > 2 5
185 167 -51 < 5, 9, 3 > 1 6
201 83 -25 < 5, 9, 3 > 3 4
215 41 3 < 5, 9, 3 > 4 3
227 41 5 < 5, 9, 3 > 5 2
237 89 -25 < 5, 9, 3 > 6 1
251 215 -67 < 5, 9, 3 > 1 7
255 131 -43 < 5, 9, 3 > 3 5
293 255 -79 < 5, 9, 3 > 2 7
311 125 -37 < 5, 9, 3 > 7 1
327 269 -85 < 5, 9, 3 > 1 8
335 129 -37 < 5, 9, 3 > 4 5
353 75 -1 < 5, 9, 3 > 5 4
381 257 -85 < 5, 9, 3 > 3 7
383 101 -15 < 5, 9, 3 > 7 2
395 167 -51 < 5, 9, 3 > 8 1
425 419 -123 < 5, 9, 3 > 2 9
453 335 -109 < 5, 9, 3 > 3 8
461 75 17 < 5, 9, 3 > 7 3
479 257 -85 < 5, 9, 3 > 4 7
489 215 -67 < 5, 9, 3 > 9 1
jagy@phobeusjunior:~$
In case anyone looks at the output, $(u,v) = (0,1)$ just repeats $(1,0),$ so I don't print that. With $(u,v)= (1,2),$ we get $x=35, y=21,z=-7,$ with a gcd of $7,$ de modo que no se imprime.
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