¿El desplazamiento al rojo de un objeto disminuye realmente con el tiempo?

Question

Estoy tratando de determinar cómo el corrimiento al rojo de un objeto (específicamente, el corrimiento al rojo debido sólo a la expansión del universo) cambia en el tiempo. Empezando por una definición del parámetro de Hubble,

$$H \equiv \frac{\dot a}{a}$$

con $a$ siendo el factor de escala, podemos escribir

$$\dot a = Ha~.$$

Podemos calcular $\dot z$ en términos de $\dot a$ . Desde $a=(1+z)^{-1}$ ,

$$\dot a = -(1+z)^{-2}\dot z~.$$

Enchufando $a$ y $\dot a$ en la primera o segunda ecuación que escribí aquí podemos encontrar

$$\dot z = - H(1+z)~.$$

Este signo negativo me resulta un poco sorprendente. Habría esperado que $\dot z$ habría sido positivo, es decir, que el corrimiento al rojo de un objeto aumenta con el tiempo. Yo habría esperado esto sólo por el hecho de que el universo se está expandiendo, pero tal vez estoy equivocado en este pensamiento. Si es así, por favor, dígame cómo. Sin embargo, la expansión del universo se está acelerando actualmente, por lo que también esperaría de esto que $\dot z$ sería positivo, ya que en momentos posteriores las cosas parecerán alejarse de nosotros a un ritmo más rápido que el actual. ¿Existe algún tipo de dependencia de la constante cosmológica que no he tenido en cuenta en mi derivación anterior?

Mi pregunta en resumen: ¿por qué hay un signo negativo en la ecuación para $\dot z$ ? ¿He derivado la expresión incorrectamente? ¿O me equivoco al pensar que debería ser positiva?

Answer 1

El desplazamiento al rojo de una fuente cambia en realidad de una manera más complicada: cuando la fuente entró en nuestro horizonte cosmológico (es decir, en el momento en que su luz llegó a la Tierra por primera vez), su desplazamiento al rojo era $\infty$ porque se encontraba en el límite de nuestro universo observable. Con el tiempo, este corrimiento al rojo disminuye a un valor mínimo, pero eventualmente la expansión del universo hace que aumentar de nuevo. En un futuro lejano, todas las fuentes volverán a ser desplazadas al rojo $\infty$ (en la Norma $\Lambda\text{CDM}$ Modelo).

Derivemos la fórmula correcta. Para más detalles, me remito a este post: https://physics.stackexchange.com/a/63780/24142

El parámetro de Hubble en el $\Lambda\text{CDM}$ El modelo es $$ H(a) = H_0\sqrt{\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} + \Omega_{K,0},a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}}\;, $$ con $\Omega_{K,0} = 1 - \Omega_{R,0} - \Omega_{M,0} - \Omega_{\Lambda,0}$ .

El desplazamiento al rojo observado $z_\text{ob}=z(t_\text{ob})$ de una fuente a la vez $t_\text{ob}$ viene dada por $$ 1 + z_\text{ob} = \frac{a_\text{ob}}{a_\text{em}}, $$ con $a_\text{ob} = a(t_\text{ob})$ el factor de escala en el momento de la observación, y $a_\text{em} = a(t_\text{em})$ el factor de escala en el momento $t_\text{em}$ cuando la fuente emitió la luz que se observó en $t_\text{ob}$ . A partir de esto, podemos escribir $a_\text{em}$ en función de $z_\text{ob}$ y $a_\text{ob}$ : $$ a_\text{em} = \frac{a_\text{ob}}{1 + z_\text{ob}}.\tag{1} $$ Cuando la fuente se mueve con el flujo de Hubble, su distancia de co-movimiento permanece constante: $$ D_\text{c}(z(t_\text{ob}),t_\text{ob}) = c\int_{a_\text{em}}^{a_\text{ob}}\frac{\text{d}a}{a^2H(a)} = \text{const}. $$ Por lo tanto, si tratamos $t_\text{ob}$ como variable, la derivada total con respecto a $t_\text{ob}$ es cero: $$ \dot{D}_\text{c} = \frac{\text{d} D_\text{c}}{\text{d} t_\text{ob}} = 0, $$ lo que significa que, con la regla integral de Leibniz, $$ \frac{\dot{a}_\text{ob}}{a_\text{ob}^2H(a_\text{ob})} = \frac{\dot{a}_\text{em}}{a_\text{em}^2H(a_\text{em})}. $$ o, con $H(a_\text{ob})= \dot{a}_\text{ob}/a_\text{ob}$ , $$ \dot{a}_\text{em} = \frac{a_\text{em}^2}{a_\text{ob}}H(a_\text{em}).\tag{2} $$ También tenemos de la ec. (1) $$ \dot{a}_\text{em} = \frac{\dot{a}_\text{ob}}{1 + z_\text{ob}} - \frac{a_\text{ob}\,\dot{z}_\text{ob}}{(1 + z_\text{ob})^2}. $$ Insertando esto en la ecuación (2), encontramos $$ \dot{z}_\text{ob} = (1 + z_\text{ob})\frac{\dot{a}_\text{ob}}{a_\text{ob}} - \frac{a_\text{em}^2}{a^2_\text{ob}}(1 + z_\text{ob})^2H(a_\text{em}), $$ que se simplifica en $$ \dot{z}_\text{ob} = (1 + z_\text{ob})H(a_\text{ob}) - H(a_\text{em}). $$ En particular, si tomamos el día actual como el momento de la observación, tenemos $$ \dot{z} = (1+z)H_0 - H\!\left(\!\frac{1}{1+z}\!\right). $$ Desde $H(a)$ disminuye en función de $a$ si se deduce que $\dot{z}_\text{ob} < 0$ si $z_\text{ob}$ es muy grande (y $a_\text{ob}$ es suficientemente pequeño), y $\dot{z}_\text{ob} > 0$ si $z_\text{ob}$ es pequeño o $a_\text{ob}$ es grande.

Esto también significa que hay un desplazamiento al rojo en cualquier momento en el que $\dot{z}_\text{ob} = 0$ . Utilizando los mismos valores de los parámetros cosmológicos que en mi puesto de referencia Me parece que este "corrimiento de transición" es actualmente $z=1.92$ . En otras palabras, el desplazamiento al rojo de una galaxia con desplazamiento al rojo actual $z<1.92$ es aumentando mientras que el desplazamiento al rojo de una galaxia con $z>1.92$ es actualmente disminuyendo .

También hay que echar un vistazo al diagrama de mi post de referencia: las líneas discontinuas representan los contornos de la constante $z_\text{ob}$ en un momento dado de la observación; las galaxias se mueven verticalmente (líneas punteadas). Verás lo mismo: cuando una galaxia cruza el horizonte de partículas, su corrimiento al rojo es $\infty$ Después disminuye, pero en un futuro (lejano) volverá a aumentar.

Véase también la ecuación (11) en el documento Confusión expansiva: conceptos erróneos sobre los horizontes cosmológicos y la expansión superlumínica del Universo por Davis & Lineweaver.

Answer 2

Nota: En este post estoy analizando la situación cuando el observador se desliza a lo largo de la trayectoria nula que conecta con la fuente, es decir, la situación de recibir el mismo frente de onda en diferentes puntos a lo largo de su cono de luz. Si quieres la evolución del corrimiento al rojo de una galaxia en particular mientras la observamos a lo largo del tiempo, donde la emisión que captamos en diferentes momentos desde el mismo lugar fue necesariamente emitida en diferentes momentos a lo largo de la línea del mundo de la galaxia, consulta Respuesta de Pulsar .

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Todo es cuestión de la hora que implican esos puntos.

$z$ es el desplazamiento al rojo que observamos hoy de la luz emitida en algún momento del pasado. Probablemente estés pensando que si el observador comienza en la emisión, entonces $z = 0$ y claramente $z$ aumenta a medida que el observador avanza en el tiempo.

Sin embargo, $z$ en función de $t$ se entiende generalmente como el corrimiento al rojo observado en el momento fijo $t_0$ hoy, en función de la variable tiempo $t$ cuando la luz fue emitida. Como $t \to t_0$ el desplazamiento al rojo observado debería acercarse a $0$ del lado positivo, por lo que $\dot{z}$ debe ser negativo.

Si se quiere mover el observador en lugar del emisor, recuerde que el corrimiento al rojo observado obedece a $$ 1 + z(t_1,t_2) = \frac{a_2(t_2)}{a_1(t_1)} $$ para la luz emitida en el momento $t_1$ con factor de escala $a_1$ y observado en el momento $t_2$ con factor de escala $a_2$ . Entonces $$ \frac{\partial z}{\partial t_2} \bigg\vert_{t_1} = \dot{a}_2 \frac{\partial z}{\partial a_2} \bigg\vert_{a_1} = \frac{\dot{a}_2}{a_1}, $$ que sí es positivo en un universo en expansión.

Answer 3

Tu derivación es correcta, pero te estás confundiendo al interpretar el resultado. Para ser claros, el hecho de que la expansión del universo se esté acelerando es irrelevante para este problema porque la expansión acelerada tiene que ver con $\ddot{a}$ .

El hecho de que $\dot{z}<0$ puede parecer paradójico porque, como dices, el corrimiento al rojo de un objeto aumenta con el tiempo. Desglosemos esta afirmación. Los objetos que están más lejos aparecen más desplazados al rojo debido a la expansión del universo. ¿Por qué es esto cierto? Pues porque estamos observando una luz que se emitió en un momento en el que el factor de escala del universo era menor que el actual, y cuanto más lejos venga la luz, más atrás en el tiempo se emitió y menor era el factor de escala en ese momento.

El desplazamiento al rojo es relativo al factor de escala actual del universo. La ecuación completa debería decir: \begin{equation} 1+z = \frac{a_0}{a}, \end{equation} donde $a_0$ es el factor de escala actual, que suponemos que es 1, y $a$ es el factor de escala de algún objeto lejano cuyo desplazamiento al rojo queremos conocer. No tiene mucho sentido hablar de la evolución temporal de $a$ en este caso, ya que el objeto cuya luz estamos midiendo existió en algún momento del pasado cuando el factor de escala del universo era diferente al actual. Si queremos aumentar $a$ para una historia de expansión fija, no tenemos más remedio que trasladar el objeto a un momento posterior, cuando $a$ es mayor, con lo que el objeto se desplaza a un desplazamiento al rojo menor. Esta es la razón por la que se obtiene un signo negativo.

Como usted señala, en el futuro los objetos lejanos estarán a mayor desplazamiento al rojo que en la actualidad. Esto se debe a que el factor de escala del presente $a_0$ aumentará en el numerador de la ecuación anterior, forzando el desplazamiento al rojo de los objetos a un factor de escala fijo $a$ también aumente.

Answer 4

Según tengo entendido: A medida que el objeto se acerca al evento del horizonte, el retraso para tener noticias de él se hace cada vez mayor. Cuando su velocidad aparente es c (en el horizonte) nunca recibirás su luz (por cierto el corrimiento al rojo será total: frecuencia=0 ). Así que hay un asíntota horizontal a 0 en la curva z(t).