¿Existe un conjunto compacto liso entre dos conjuntos compactos cualesquiera?

Question

Hoy he visto la siguiente afirmación y, por supuesto, creo que es cierta, pero no sé cómo demostrarla con rigor (y mis colegas tampoco).

Sea $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ sea abierta y acotada y $K\subset \Omega$ compacto. Entonces existe un conjunto $A$ tal que $K\subset A\subset \Omega$ con $\partial A$ suave (suave significa al menos $C^1$ ).

Sin embargo, mi primer ansatz fue: Molificar la función característica de $K$ de forma que su soporte esté en $\Omega$ y denotamos estas funciones por $g$ . Ahora mi intención era utilizar el teorema del valor regular en $g$ . Como $g^{-1}(1/2)$ debería ser un colector liso. Pero no puedo demostrar si este punto es un punto regular ni sé que $\{x :g(x)\geq 1/2\} \supset K$ . ¿Alguien tiene una idea diferente o adicional sobre esto?

Answer 1

Para cada $p\in K$ , dejemos que $B(\delta_p,p)\subset\Omega$ donde $B(\delta_p,p)$ es una bola de ratio $\delta_p$ y ceter $p$ . Porque $K$ es compacto, se puede encontrar un número finito de bolas $B(\delta_{p_i},p)$ tal que $$K\subset\bigcup_{i=1}^mB(\delta_{p_i},p)\subset\Omega$$

Para terminar en tenemos que considerar los puntos de intersección de dos bolas cualesquiera. Denotemos por $A=\cup_{i=1}^mB(\delta_{p_i},p)$ .

Sin pérdida de generalidad, consideremos que $n=2$ . El procedimiento es el mismo para $n>2$ . Tome dos bolas y considere sus límites que son los círculos $\partial B_1$ y $\partial B_2$ . Podemos suponer que los puntos en las intersecciones del círculo se encuentran en el eje $y$ en $\mathbb{R}^2$ . Toma un poco de $\epsilon>0$ pequeño y borrar la parte de los círculos contenida en $(-\epsilon,\epsilon)\times\mathbb{R}$ . Ahora tenemos dos arcos de circunferencia. Unimos estos dos arcos mediante dos líneas (si estuviéramos en dimensión $n>2$ podríamos utilizar un cilindro).

Ahora tenemos algo como este . Utilizando un argumento de partición de la unidad, se puede regularizar toda la parte que es la intersección entre las rectas y los círculos. Si se toma $\epsilon>0$ pequeño todavía tienes que $A\subset \Omega$ .

Answer 2

Primero $\Delta\Omega$ sea el límite de $\Omega$ como $\Omega$ es abierto y acotado $\Delta\Omega$ es compacta y disjunta de $\Omega$ (por tanto, no se cruza con $K$ ).

Ahora como $K$ y $\Delta\Omega$ son conjuntos compactos no intersecantes existe algún $\varepsilon>0$ tal que ningún par de puntos $x\in K, y\in\Delta\Omega$ tienen $\|x-y\|<2\varepsilon$ Además, podemos elegir un número finito de puntos $x_1,\dots, x_n\in K$ y $y_1,\dots y_m\in\Delta\Omega$ tal que el abierto $\varepsilon$ bolas $\mathcal B(\varepsilon, x_i)$ y $\mathcal B(\varepsilon, y_i)$ portada $K$ y $\Delta\Omega$ respectivamente.

Ahora dejemos que $A'\subset\Omega$ sea el conjunto de puntos $p$ tal que existe alguna $i$ para lo cual $\|p-x_i\|<\|p-y_j\|$ para cada $j\leq m$ .

Entonces, para cada punto $p\in\Delta A'$ debe existir algún par $i,j$ tal que $\|p=x_i\| = \|p=y_j\|>\varepsilon$ .

Por lo tanto $\Delta A'$ es un simplex y para cada $p\in\delta A$ la pelota $\mathcal B(p,\frac \varepsilon 2)$ se encuentra en $\Omega\setminus K$ .

No recuerdo el teorema, pero estoy seguro de que existe una modificación suave de $\Delta A'$ que se mantiene dentro de $\frac\varepsilon 2$ de $A$ .