¿La suma de los primeros $n$ primos es un número primo infinitas veces?

Question

Define la secuencia $P(n)=\sum_{i=1}^{n}p_i$, donde $p_i$ es el $i-ésimo$ número primo.

Observé que para algunos $n$ pequeños a veces esta suma da como resultado un número primo, por ejemplo $P(2)=2+3=5$ y $P(4)=2+3+5+7=17$ y $P(6)=2+3+5+7+11+13=41$.

Así que es natural preguntarse:

¿Es cierto que hay una secuencia de números naturales $\{n_i:i \in \mathbb N\}$ tales que todos los números en el conjunto $\{P(n_i):i \in \mathbb N\}$ son números primos?

Answer 1

Casi con seguridad sí, pero dudo mucho que esto pueda ser probado en el estado actual del arte.

Los primeros pocos números primos que surgen son

$$2, 5, 17, 41, 197, 281, 7699, 8893, 22039, 24133, 25237, 28697, 32353, 37561, 38921, 43201, 44683, 55837, 61027, 66463, 70241, 86453$$

Ver secuencia OEIS A013918.

La suma de los primeros $n$ primos es del orden de $n^2 \log n$, y de forma heurística, un número de este tamaño tiene una probabilidad del orden de $1/\log n$ de ser primo. Dado que $\sum_n 1/\log n = \infty$, debería haber infinitos. Pero eso no es una prueba.

Answer 2

Esto no es una respuesta, pero pretende mostrar que parece haber un número infinito de primos de la forma $\sum_{k=1}^n p_k$.

El eje x en el diagrama es $\,^2\!\log n$ y el eje y es $\,^2\!\log N_n$, donde $N_n$ es el número de primos de la forma $\sum_{k=1}^m p_k$ donde $m\le n$.

Answer 3

Hasta $n=1$ hay $1$ valores primos, esto es el $100.000000$ por ciento

hasta $n=10$ hay $4$ valores primos, esto es el $40.000000$ por ciento

hasta $n=100$ hay $10$ valores primos, esto es el $10.000000$ por ciento

hasta $n=1000$ hay $76$ valores primos, esto es el $7.600000$ por ciento

Answer 4

No es una respuesta, por las razones obvias, como han indicado otras personas. Pero aquí hay un intento que estoy haciendo, sin éxito hasta ahora. Hay este libro "Problems in Real Analysis. Advanced Calculus on the Real Axis" de:

• Teodora-Liliana T. Radulescu
• Vicentiu D. Radulescu
• Titu Andreescu

Y contiene una elegante demostración corta de lo siguiente:

Ahora, combinando esto con la conjetura de Legendre, obtenemos: $$\left | \sqrt{P(n)} - \sqrt{q} \right | < 1$$ donde $q$ es algún número primo dentro de los mismos cuadrados perfectos consecutivos que $P(n)$.

Obviamente, no todos los $n$ proporcionarán un posible primo a considerar, porque $P(n)$ es par para $n$ impar. Pero, si por alguna magia de densidad o argumento del principio del palomar pudiéramos probar que $\left | \sqrt{P(n)} - \sqrt{q} \right |$ está lo suficientemente cerca como para que $\left | P(n) - q \right | < 1$, eso haría una prueba interesante, basada en la conjetura de Legendre, por supuesto.