¿Cómo es el significado físico de una representación irreducible justificado?

Question

Este es tal vez no es enteramente un problema matemático, sino que la consideran una pregunta pedagógica acerca de la teoría de la representación si usted quiere evitar la física y preguntas en MO.

He estado leyendo el Cantante de la Linealidad, de la Simetría, y la Predicción en el Átomo de Hidrógeno y estoy tratando de llegar a un acuerdo con el principal de la física (en oposición a la matemática) argumento del texto. El argumento plantea, si he entendido correctamente, que un sistema cuántico descrito por un espacio de Hilbert $H$ en el que un grupo $G$ de simetrías de los actos por transformaciones unitarias, debe tener la propiedad de que su "elemental establece que" son" irreductibles subrepresentations de la representación de $G$ en $H$. Ella comienza este argumento en la sección 5.1:

Subespacios invariantes son sólo físicamente natural subespacios. Recordemos de la Sección 4.5 de que en un sistema cuántico con la simetría, no es una representación natural $(G, V, \rho)$. Cualquier físicamente objeto natural debe aparecer la misma para todos los observadores. En particular, si un subespacio tiene significado físico, equivalente a los observadores deben ponerse de acuerdo sobre la cuestión de un estado particular de la membresía en que el subespacio.

y continúa en la sección 6.3:

Sabemos, a partir de numerosos experimentos en los que cada sistema cuántico tiene *escuela primaria de los estados unidos*. De una escuela primaria del estado de un sistema cuántico debe ser **observador independiente**. En otras palabras, cualquier observador debe ser capaz de (en teoría) a reconocer que el estado de forma experimental, y las observaciones que todos deberíamos estar de acuerdo. En segundo lugar, un estado elemental debe ser indivisible. Es decir, no se debe ser capaz de pensar en el estado elemental como una superposición de dos o más "más elementales" de los estados. Si aceptamos el modelo que cada reconocible estado corresponde a un subespacio vectorial del espacio de estado del sistema, entonces podemos concluir que la primaria los estados corresponden a representaciones irreducibles. La independencia de la elección de observador obliga al subespacio de ser invariante bajo la representación. El carácter indivisible de la subespacio requiere el subespacio a ser irreductible. Tan elemental estados corresponden a representaciones irreducibles. Más específicamente, si un vector $w$ representa un estado elemental, entonces $w$ debe estar en un *irreductible* subespacio invariante $W$, es decir, un subespacio cuyo único subespacios invariantes son en sí y $0$. De hecho, cada vector en $W$ representa un estado "indistinguibles" de $w$, como consecuencia del Ejercicio 6.6.

(Para las personas que realmente saben de su quantum, la Cantante está haciendo caso omiso de la distinción entre representaciones y proyectiva representaciones hasta más adelante en el libro).

Mi primer problema con este argumento es que el Cantante nunca se da una definición precisa de "estado elemental." Mi segundo problema es que no estoy seguro de qué principio físico es en el trabajo cuando ella postula que físicamente natural subespacios de primaria y de los estados deben ser observador independiente (es decir, invariante bajo la acción de $G$). Qué suposición subyacente de la mecánica cuántica, o lo que sea, es en el trabajo aquí? ¿Por qué debería un matemático sin formación importante en la física de encontrar esto razonable? (Tengo la misma pregunta acerca de la identificación de las partículas elementales con representaciones irreducibles del "grupo de simetría del universo", por lo que cualquier comentario acerca de este físico argumento también son bienvenidos.)

La cantante va a utilizar esta suposición para deducir el número de electrones que llenar varios electrones de los orbitales, y no voy a ser capaz de convencer a mí mismo que esto tiene sentido hasta que comprender la física de la asunción, que nos permite utilizar representaciones irreducibles para ello.

Answer 1

Invariantes estados no el único significativas. Incluso en la mecánica clásica, una pelota de béisbol, viajando 90 mph hacia mi cabeza es muy significativo para mí, aunque sin consecuencias para mi colega matemático de una milla de distancia.

El enfoque en los subespacios invariantes no viene de una hipótesis, pero de la forma en que los físicos hacen su trabajo. Se desea predecir el comportamiento mediante la realización de cálculos. Ellos quieren encontrar leyes que son universales. Quieren ecuaciones y las reglas de cálculo que va a ser invariantes bajo un cambio de observadores.

Cualquier particular el cálculo podría requerir una elección de las coordenadas, pero las reglas deben ser invariantes bajo esa elección. Una vez que estamos hablando de una particular trayectoria de béisbol, que la trayectoria será diferente en diferentes sistemas de coordenadas; las normas que rigen el béisbol de vuelo, sin embargo, debe buscar el mismo en todos los equivalentes de sistemas de coordenadas.

Las características naturales de pelotas de béisbol surgen de las clases de equivalencia de las trayectorias de pelotas de béisbol -- equivalencia en virtud de la acción del grupo. Aquí, si pretendemos que la tierra es plana, la gravedad es vertical, y el aire no resistir el béisbol, el grupo es generado por las traslaciones y rotaciones en el plano. Cualquier físicamente natural, propiedad intrínseca de béisbol de la misma (tales como su masa) o su trayectoria (tales como la velocidad de la pelota de béisbol) deben ser invariantes bajo la acción del grupo. Si usted no sabe a priori lo que estas propiedades será, una buena manera de encontrarlos es pasar de instancias individuales (el béisbol se dirigía hacia mí a 90 mph) a la clase de equivalencia generada por las instancias individuales bajo la acción del grupo (el conjunto de todos los concebible pelotas de béisbol viaja a 90 mph). Tenga en cuenta que la clase de equivalencia es invariante bajo la acción del grupo, y es precisamente esta invariancia que hace que la clase de equivalencia de un útil objeto de los físicos en estudio.

Más generalmente, si usted está estudiando un sistema físico con la simetría, es una buena apuesta que el invariante de objetos de plomo físicamente relevantes, importantes cantidades. Es más una filosofía que un axioma, pero ha funcionado durante siglos.

Answer 2

Primero, un poco de fondo. Considere la posibilidad de un Hamiltoniano $H$ en un finito-dimensional espacio de Hilbert de $\mathcal{H}$. Suponga que $H$ es invariante gauge, es decir, $G^{-1}HG = H$ para todo $G$ pertenecientes a un unitaria representación de algún grupo de $\mathcal{G}$ en $\mathcal{H}$. De ello se sigue que $G^{-1}U(t)G = U(t)$ ($U(t) = e^{-n}$), y desde la representación unitaria, se desprende también que

$\langle x' | U(t) | x \rangle = \langle x' | G^{-1}U(t)G | x \rangle = \langle x' | G^*U(t)G | x \rangle = \langle Gx' | U(t) | Gx \rangle$

lo que implica que

$\mathbb{P}(x \desbordado{t}{\longrightarrow} x') = \mathbb{P}(Gx \desbordado{t}{\longrightarrow} Gx')$.

Es decir, cualquier calibre de la invariancia de la Hamiltoniana se refleja automáticamente en las probabilidades de transición: los subespacios propios de $H$ son invariantes bajo la acción de $G$, de modo que cualquier representación unitaria $D : G \rightarrow U(H)$ restringe a los subespacios propios. Como José puntos a cabo, normalmente, los representantes son reducibles, etc. También vale la pena mencionar que mientras la física muy interesante, los estados son invariante gauge, energía autoestados no necesita ser (y en el ejemplo de abajo, no lo son).

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Ahora, un ejemplo de cómo funciona esto en la práctica que no requiere matemáticamente de lujo de la maquinaria. Considerar el 2D cuántica Ising teoría de gauge

$H = -\lambda \sum_{\square @} \prod_{\ell \en \square} \sigma_3(\ell) - \sum_{\ell @} \sigma_1(\ell)$

donde hay un enlace de $\ell$ con el tiempo de coordenadas $t$ se entiende espacial--y por lo tanto tiene un tiempo bien definido de coordenadas $t$--si escribimos $\ell @ t$ (o la supresión de la hora de argumento). Primaria plaquette tiene cero o dos temporales enlaces: en el primer caso nos llame la plaquette espacial y de manera similar a escribir $\square @ t$.

Las irreps de un producto de $\mathbb{Z}_2$'s puede ser usado para construir una base física. Un invariante gauge eigenstructure existe para $H$, y el de la física, se rigen únicamente por el parámetro $\lambda$ y el indicador inducida por la representación unitaria de $\mathbb{Z}^M_2$ a $U(\mathcal{H}_2^{\otimes L})$. Aquí de $\mathcal{H}_2$ es el espacio de Hilbert de un solo giro variable, $L$ es el número de enlaces en la red, y $M$ es el número de ellos que comprenden un máximo de árbol (ver también una de mis respuestas aquí).

Si desea una valoración crítica que cubre en detalle, incluyendo datos numéricos a través de MATLAB, dejar información de contacto en un comentario y lo voy a enviar un PDF (lamentablemente sólo tengo esto en Word).

Answer 3

Edit: OK, creo que he entendido lo que ella (la Cantante) está diciendo y lo QY está pidiendo. La restricción de la física real de los estados para subespacios invariantes es, como ella señala, es necesario que todos los observadores coinciden en que es en el mismo sub-espacio. Por ejemplo, ¿cómo puedo demostrar absolutamente que una silla es físicamente real? Pido un observador independiente para verificar el presidente está ahí.

Mientras que los observadores pueden estar en desacuerdo sobre los valores específicos para el resultado de algunos de medición debido a los diferentes marcos de referencia, deben estar de acuerdo en que se está midiendo lo mismo. Esto es equivalente a la noción relativista de la invariancia. Ciertas cantidades en la relatividad marco independiente y tendrá el mismo para todos los observadores (por ejemplo, la magnitud de los cuatro, el impulso, el espacio-tiempo, el tiempo, etc.).

En la mecánica cuántica, los estados que se encuentran en algunos subespacio invariante debe buscar la misma para todos los observadores. La razón, es de suponer que, en QM, físicamente real de los estados, debe recaer en los subespacios invariantes (que parece más estricto que el de la relatividad, que podría decirse que permite no invariantes físicamente real de los estados) es porque el acto de la medición de un sistema cuántico perturba. Así es la única forma de comprobar que realmente tienen algo en lugar de sólo una reliquia producido por la observación de sí mismo.

Mi respuesta anterior (aquí a la izquierda para fines de referencia):

Estoy bastante seguro de que la "primaria de los estados", que se refiere a corresponder (al menos físicamente) a la base de los estados del espacio de Hilbert, que no son necesariamente la misma que la de los estados que la partícula es en realidad. Así, por ejemplo, para el giro de un spin-1/2 partícula como un electrón), podríamos optar por medir a lo largo de una variedad de ejes. Supongamos que elegimos para medir el spin a lo largo de los a $z$-eje. La vuelta va a ser hacia arriba o hacia abajo. La base de los estados correspondientes a estos resultados se

$|0\rangle = \left( \begin{eqnarray} 1 \\ 0 \end{eqnarray}\right)$ y $|1\rangle= \left( \begin{eqnarray} 0 \\ 1 \end{eqnarray}\right)$.

Tenga en cuenta que es posible que la partícula, antes de que se mida, para estar en un estado así, al menos antes de una medición que se realizan, estos estados no necesariamente corresponden a un real estado físico. Simplemente son la base del espacio de Hilbert de la partícula. Por ejemplo, antes de la medición de la partícula del estado podría ser algo como

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right)$.

Ahora, es posible que en lugar de hablar sobre el estado físico de un sistema que es un poco diferente. Considere que el producto estado de las dos partículas

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|00\rangle + |10\rangle\right)$.

Es llamado un producto del estado porque puede ser escrito

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) \otimes |0\rangle$

donde el estado de una partícula es de $|a\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right)$ y el estado de los otros es de $|b\rangle = |0\rangle$. Si este es el caso, es importante tener en cuenta que en la mecánica cuántica, existen compuestos no-producto de los estados. Estos son los llamados estados enredados. Un ejemplo es el siguiente estado de Bell,

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|00\rangle + |11\rangle\right)$.

Si este es el significado Frank significaba (como opuesto a la base de los estados), a continuación, el estado elemental sería el más pequeño factorable estados se podría reducir un sistema, es decir, podría ser que los estados individuales de un producto del estado o puede ser una enredada estado.

Answer 4

No estoy seguro de que hay aquí un físico de la asunción, como mucho como una manera conveniente en el que se habla de un sistema físico. Mecánica cuántica representaciones unitaria y, aunque normalmente de dimensiones infinitas, en general, también están completamente reducible. Por lo tanto, en una manera, si usted entiende las representaciones irreducibles puede entender cualquier representación.

Por ejemplo, Wigner argumenta de esta manera en su 1939 papel en la central unitaria de las representaciones del grupo de Poincaré. Esto podría abordar la segunda versión de su pregunta acerca de las partículas elementales correspondientes a las representaciones irreducibles del grupo de Poincaré.

Supongo que lo que estoy tratando de decir es que un estado que corresponde a una representación reducible $V\oplus W$ es físicamente indistinguible de uno de los dos estados correspondiente a $V$ y $W$, respectivamente. Por lo tanto no se gana nada teniendo en cuenta que tales estados como "primaria".

Answer 5

Supongo que la respuesta a su pregunta, tan simple como es posible esto: Usted probablemente sería más feliz si no una irreductible de la representación, sino una única función fue declarado el objeto de interés (de hecho esta función, sobre la normalización, estaría literalmente la distribución de probabilidad en un momento dado de encontrar la partícula). Sin embargo, desde el grupo G actúa sobre el espacio de fase del sistema y preserva la energía funcional bajo estudio (porque es un electrón que gira alrededor de un protón, la energía es una función de r en sí), para cualquier función f se encuentra transformar bajo rotaciones por el elemento g del elemento g.f.

Ahora suponga que usted y un amigo están ambos de realizar el experimento, de forma simultánea, y de tal manera que sus puntos de vista de los protones están relacionados por una rotación de g sobre el protón. Cuando se observa una distribución f, su amigo de observar simultáneamente la distribución g.f, sólo mediante el cálculo de cambio de coordenadas, y no por un físico de la asunción. Ahora, agregue la física en la suposición de que usted y su amigo debe ser capaz de conciliar sus resultados, cuando se reúnen para hablar de ellos, y usted encontrará que uno no puede hacer una distinción entre f y g.f. Así que no se debe estudiar solo las distribuciones f, sino órbitas g.f de una función dada. Este es mi intento de responder a su segunda pregunta. No es un matemático, sino física responder, ya que usted hizo una pregunta física.

A tu primera pregunta, yo simplemente estar de acuerdo con José Figueroa-O'Farrill que el término estado elemental no quiere decir mucho, excepto que usted puede expresar formalmente ningún estado como una combinación lineal de sus "primarias" de los estados, y que esto es útil para el cómputo de los diversos quantitites (como la energía que se atribuye al estado, mediante el Casimir elemento, como más adelante en el libro).

Supongo que otra perspectiva de la primera pregunta, que es (ligeramente) más matemático que mi respuesta original es lo que quieres para el estudio de funciones en R^3/SO(3). Desde ENTONCES(3) la acción en R^3 es extremadamente no-libre, la naiive enfoque de simplemente tomar funciones invariantes, daría la cosa equivocada. Puesto que R^3 es contráctiles, homotopy teoría nos diría que R^3/SO(3) es homotopy equivalente a "pt/SO(3)", que en homotopy mundo es precisamente la categoría de RepSO(3). Tal vez alguien con una mejor comprensión de homotopy teoría puede dar?

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Creo que en un punto posterior en el libro que usted se refiere (me corrigen si mi memoria es correcta), el Cantante explica que usted quiera pedir a los estados que minimizar la energía, la cual es definida o derivados, dependiendo de sus convenciones, a ser una simple función de los valores propios de un determinado operador diferencial, que en este caso coincide con el casimir elemento EF + FE + H^2/2 en el álgebra envolvente de sl_2(C), que es la complejización de la mentira álgebra so_3. Así que el problema físico de encontrar estados con un mínimo de energía se reduce a encontrar los autovalores de un determinado operador, que por la discusión anterior desplazamientos con el SO(3) la acción. Desde los operadores en SO(3) conmuta con el Casimir, se conservan sus subespacios propios, lo que significa que f y g.f se le ha asignado la misma energía. Así, la única a escala "s" tiene una distribución de energía mínima, las tres "d" de las órbitas tienen el siguiente más alto de energía, y así sucesivamente. Seguramente se podría preguntar por qué no todos los electrones se acaba de adoptar el orbital s, pero esto está prohibido por la observación de la ley (Pauli del principio de exclusión) que indica que los distintos electrones no pueden tener la misma distribución, o más precisamente, la envergadura de las distribuciones de n electrones tiene dimensión n. Bueno, en realidad n/2 debido a la "vuelta", pero no importa por ahora.

Por cierto, a riesgo de ser acusado de distracción con un cuadro bonito, se los recomiendo

http://www.orbitals.com/orb/orbtable.htm

que representa las distribuciones estamos discutiendo por el dibujo de las crestas donde están máxima en la longitud de los números complejos. Es increíble lo que coincide con la escala de grises de los datos observados, y de lo complicado que puede llegar a un gran número de electrones. Tenga en cuenta que definitivamente NO son G-invariante! (aunque una característica útil que puede ver es que, precisamente, uno en cada nivel es H-invariante, donde H es la rotación a través de un eje fijo. Esto sucede porque usted tiene impar dimensiones SO(3) representantes, y el elemento H en so_3 ha pesos-k, -k+2, ..., 0 , ... k-2, k en cada uno de estos V, y así desde H tiene un uno-dimensional cero peso de espacio, se debe fijar uno de los vectores y esto significa que una función debe ser invariante sobre el eje de la definición de H).