Se asigna a todo factor de grupos cíclicos finitos implica mapa de factores de números enteros

Question

Vamos $G$, $H$ grupos (no perdemos nada, aquí si se supone que son abelian), vamos a $f:G\to H$ $g:G\to \mathbb{Z}$ ser homomorphisms. Este último mapa nos da homomorphisms $g_n:G\to {\mathbb{Z}}/{n \mathbb{Z}}$ para cada entero positivo $n$, componiendo con la habitual cociente.

Ahora supongamos que para cada $n$, el mapa de $g_n$ factores a través de $H$ en el sentido de que hay algunos homomorphism $h_n:H\to{\mathbb{Z}}/{n \mathbb{Z}}$$g_n=h_n \circ f$.

Claramente, esto sucede si $g$ factores sí mismo (hay algunos $h:H\to\mathbb{Z}$$g=h\circ f$), pero es a la inversa verdad? Si todos los $g_n$ factor, no se sigue que la $g$ factores?

Answer 1

Lo contrario parece ser falsa. Deje $G=\mathbb{Z}$, y deje $g$ ser la identidad de morfismos. Deje $H$ ser el grupo $\prod_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, y deje $f:G\to H$ ser el de morfismos el envío de cada una de las $m$ a, el elemento de la $H$ cuyas $n$-ésima coordenada es la imagen de $m$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ por la natural proyección. A continuación, cada una de las $g_n$ factores a través de $H$: es la composición de $f$ con la proyección canónica de $H$ a de su $n$-ésimo factor directo; de hecho, la composición $$ \mathbb{Z}\stackrel{f}{\to} \prod_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $$ is then the natural projection from $\mathbb{Z}$ to $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, which is equal to $g_n$ por definición.

Sin embargo, $g$ sí no es un factor a través de $H$. De hecho, no hay no-cero morfismos de$H=\prod_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$. Para ver esto, considere los morfismos $\prod_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}\to \prod_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ determinado por el de las componentes de la proyección. La composición $$\prod_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}\to \prod_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$$ would be a morphism whose kernel contains $\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}$. By a theorem of Specker (see, for instance, answers to this question), this implies that the composition is zero. The left morphism being surjective, this in turn implies that any morphism $\prod_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ se desvanece.

Esto demuestra que $g$ no es un factor a través de $H$ en este ejemplo.