¿Qué m minimiza E(|m-X|^3) para una variable aleatoria X?

Question

Sea X una variable aleatoria. Entonces E(|m-X|^1) se minimiza cuando (como una función de m) cuando m es el punto medio de X, y E(|m-X|^2) es mínimo cuando m es la media de x.

Hace un par de semanas en una técnica de estiramiento de una prueba que implican la condición de Lyapunov para el teorema del límite central que terminó con la expresión E(|m-X|^3). ¿Esta estadística tiene un nombre, o cualquier agradable propiedades?

Edit: en versiones Anteriores de esta cuestión había |m EX| donde |m-X| era; esto no es a lo que me refería.

Answer 1

El minimizer $m$ es el punto más cercano de la proyección de $X$ sobre el subespacio de $L^p$ formado por la constante de funciones ($p=3$ en su caso). Esta $m$ es a veces llamada la $p$-predicción o $p$-predictor de $X$. Al parecer, esta terminología se inició con Andô y Amemiya. Algunos de los posteriores trabajos son los módulos de Aterrizaje y Rogge (que escribió un par de otros documentos, por ejemplo, este), y la Cuesta y Matrán. El término "generalizado (condicional) expectativa" también apareció.

Answer 2

Supongo que te refieres a |m-X| en oposición a |m EX|? De lo contrario, |m-EX - | no es una variable aleatoria, por lo que E(|m-EX - |^k) = |m-EX - |^k siempre es cero (y por lo tanto minimiza) cuando m = EX -- es decir, la media-y que probablemente no es lo que estás preguntando.

Después de un poco de Google, parece que podría estar hablando de la tercera absoluta momento central E(|X-EX - |^3), que está relacionado con algo llamado Barry-Esseen desigualdad ... ver aquí.

Answer 3

E (| X-EX | ^ k) se llama el momento central (o centrado) del k-ésimo de la variable aleatoria X.

Answer 4

sea f(x) es la función de densidad de probabilidad de X. podemos definir el derecho y la mano izquierda y la derecha de cara a los momentos de X con respecto a la m como sigue:

La mano izquierda una cara k-ésimo momento de x con respecto a la m = int_[-inf-m (m-x)^k f(x) dx

La mano derecha una cara k-ésimo momento de x con respecto a la m = int[m inf] (x-m)^k = f(x) dx

Uno observa las siguientes analogías

1. La mediana es el dato de que el cero a la izquierda y la mano derecha de uno de los lados momentos son iguales (el cero de momentos son solo probabilidades)

2. Para la media, la primera a la izquierda y la mano derecha de uno de los lados momentos son iguales.

3. Para la estadística se define en la pregunta, la segunda a la izquierda y la mano derecha de uno de los lados momentos son iguales.