Todavía estoy haciendo mi camino a lo largo de Niven Introducción a la Teoría de números, y el problema del título me está dando un poco de problemas cerca del final, y estaba esperando que alguien puede ayudar a mí a través de él.
Ahora $x^8\equiv 16\pmod{2}$ es solucionable con $x\equiv 0\pmod{2}$, por lo que asumo $p$ es una extraña prime. A partir de un teorema anterior en el texto,
Si $p$ es un primer e $(a,p)=1$, entonces la congruencia $x^n\equiv a\pmod{p}$ $(n,p-1)$ soluciones o ninguna solución de acuerdo como $a^{(p-1)/(n,p-1)}\equiv 1\pmod{p}$ o no.
Así que desde $(16,p)=1$, el problema se reduce a mostrar que la $16^{(p-1)/(8,p-1)}\equiv 1\pmod{p}$ tiene para todos los $p$. Tomo nota de que $(8,p-1)$ sólo puede tomar los valores de $2,4,8$. Para $2$, por encima de la equivalencia, a continuación,$4^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$, lo cual es cierto por Fermat poco Teorema. Para $4$, luego se $2^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$, que tiene de nuevo por el FlT. Sin embargo, en el caso de que $(8,p-1)=8$ está tirando de mí". En el mejor de los que yo veo que $16^{(p-1)/8}\equiv 2^{(p-1)/2}\pmod{p}$, pero no estoy seguro de cómo mostrar esto es congruente a $1$ modulo $p$. Tal vez hay una forma más elegante de hacerlo sin mirar los casos. Gracias por la comprensión.
