¿Qué es una serie?

Question

Esta pregunta es bastante pedante, pero es algo que me viene molestando desde hace algún tiempo.

Resumiendo infinitos términos de una secuencia es algo que se hace en casi todos los subcampo de las matemáticas, por lo que la serie está a la derecha en el núcleo de las matemáticas. Pero, extrañamente, nunca he visto una definición formal de una serie de la forma ", Una serie de...", si miro en los libros de cálculo o en el espacio de Banach de la teoría.

También, el uso de la lengua parece un poco incoherente. Muchos textos definir formalmente $\sum_{n=1}^\infty x_n$ $\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N x_n$ pero, a continuación, escribir algo como "La serie de $\sum_{n=1}^\infty x_n$ converge si...", lo que significaría entonces "$\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N x_n$ converge si...", que no tiene ningún sentido, a continuación, $\sum_{n=1}^\infty x_n$ es un número (o un vector) o un sentido de expresión tal como "el mayor número natural".

Entonces, ¿cuál es la definición de una serie? O son de la serie realmente sólo una manera de hablar acerca de las secuencias y series no existen como objetos matemáticos?

Answer 1

Creo que recuerdo que cuando aprendí esto, mi profesor dijo que este es el primer 'abuso de notación' que nos encontraría-el símbolo $\sum_{n=0}^\infty a_n$ es tanto para la secuencia y su límite.

Una manera de responder a su pregunta original podría ser pensar en una serie como un par de secuencias $(a_n,b_n)$ $b_{n+1}-b_n=a_n$ y así hacen la secuencia subyacente y la serie a parte de los datos que.

Answer 2

La pregunta no tiene nada que ver con el infinito; usted podría preguntar, ¿qué es un finita de la serie, o, lo que es un polinomio?

La suma de una serie infinita es el límite de su sucesión de sumas parciales, pero eso no significa que la serie infinita es su secuencia de sumas parciales. Esa no es la manera en que el término "serie" se utiliza; es el tipo de tonterías que podrían obtener de un instructor de matemáticas que está siendo presionado para una definición formal.

La respuesta es que una serie, como un polinomio es una expresión formal. Todos sabemos lo que es una expresión formal es, para la mayoría de los matemáticos a los efectos de que no hay necesidad de identificar con un conjunto particular teórico-objeto. ¿Qué es un polinomio? Usted puede elegir para identificar un polinomio en una variable, sobre el verdadero campo), con su secuencia de coeficientes, y así lo definen como una función del conjunto de todos los números enteros no negativos para el conjunto de todos los números reales que toma valores distintos de cero en la mayoría de un número finito de veces. O podría definir un polinomio como una palabra en un lenguaje determinado, sobre un alfabeto que contiene variables, números, $+$ $-$ signos, etc.

Answer 3

Una serie es la secuencia de sumas parciales de otra secuencia.

La suma de una serie es el límite de la secuencia de sumas parciales, si existe.

Como se puede escribir una secuencia de $(a_n)$, puede ayudar a escribir la serie correspondiente como $\sum a_n$. Tenga en cuenta la ausencia de decoración en el signo de suma.

La suma de una serie se denota $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ así como el límite de una secuencia es denota $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$.

La definición precisa es $$\sum_{n=1}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^Na_n$ $