¿Es una nueva expresión para $e$?

Question

Que $f(x) = x^x$. Entonces, definamos una función $p(x)$ tal que: $$p(x) = \frac {f(x+1)}{f(x)} - \frac {f(x)}{f(x-1)}

A medida que aumenta el valor de $x$, $p(x)$ $e$ acerca, o (creo), $$\lim_{x\rightarrow \infty} p(x) = e

¿No tengo ni idea de por qué esto ocurre como no yo ningún estudiante de matemáticas avanzadas, pero podría alguien explicarme el motivo? Acabo de enterar esta jugando con una calculadora.

Answer 1

$\frac {f(x+1)}{f(x)} = (x+1)\left(\frac {x+1}x \right)^x$. Definir $g(x) = (1+1/x)^x$.

Entonces $p(x) = (x+1)g(x+1) - xg(x)$.
Es bien sabido que $\lim_{x \to \infty} g(x) = e$, pero necesitan un desarrollo más preciso de $g(x)$ $x \to \infty$:

$g(x) = \exp(\log(g(x))) = \exp (x \log(1+x^{-1})) \\ = \exp (x (x ^ {-1} - x ^ {-2} / 2 + O(x^{-3})) \\ = \exp (1 - x ^ {-1} / 2 + O(x^{-2})) = e - (e/2) x ^ {-1} + O(x^{-2})$.

Ahora podemos conseguir $xg(x) = xe - e/2 + O(x^{-1})$
Y por último $p(x) = (x+1)e - e/2 - xe + e/2 + O(x^{-1}) = e + O(x^{-1})$

Answer 2

Tienes razón. Usar el hecho $$\lim_{x\rightarrow\infty}\bigg(1+\frac{1}{x}\bigg)^x = e