Mostrar los determinantes mediante la traza en una matriz de 2x2

Question

Estoy confundido con esta pregunta de los deberes.

Dice "Mostrar que :

$\det(A) = \frac 12 \begin{vmatrix}\operatorname{tr}(A)&1\\\operatorname{tr}(A^2)& \operatorname{tr}(A)\end{vmatrix}$

por cada $2\times 2$ matriz".

No estoy seguro de cómo "demostrar" esto. Supongo que se trata de una especie de prueba.

Pero también estoy confundido en cuanto a por qué el $\det(A) = 1/2$ por una matriz. Estoy bastante seguro de que los determinantes son sólo un número, no una matriz.

Cualquier consejo sería estupendo. Gracias de antemano.

Answer 1

He aquí una generalización (solicitada) para dimensiones mayores: Si A es un n × n entonces se tiene la siguiente expresión para el determinante de A en términos del determinante de una matriz cuyas entradas son trazos de potencias de A :

$$\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\det}{\operatorname{det}} \det(A) = \frac{1}{n!}\left|\begin{array}{cccccccc} \tr(A) & 1 & . & . & . & \dots & . & . \\ \tr(A^2) & \tr(A) & 2 & . & . & \dots & . & . \\ \tr(A^3) & \tr(A^2) & \tr(A) & 3 & . & \dots & . & . \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \tr(A^{n-1}) & \tr(A^{n-2}) & \tr(A^{n-3}) & \tr(A^{n-4}) & \tr(A^{n-5}) & \dots & \tr(A) & n-1 \\ \tr(A^n) & \tr(A^{n-1}) & \tr(A^{n-2}) & \tr(A^{n-3}) & \tr(A^{n-4}) & \dots & \tr(A^2) & \tr(A) \end{array}\right|$$

En particular, tenemos para $3\times3$ eso: $$\det(A) = \frac{1}{6}\left|\begin{array}{cccc} \tr(A) & 1 & 0 \\ \tr(A^2) & \tr(A) & 2 \\ \tr(A^3) & \tr(A^2) & \tr(A) \end{array}\right|$$

La matriz de la derecha está definida en general por: $$B_{ij} = \begin{cases} i & \text{ if } j = i + 1 \\ \tr(A^{i-j+1}) & \text{ if } j \leq i \\ 0 & \text{ if } j > i+1 \end{cases}$$

Sugiero utilizar esto de forma recursiva para crear fórmulas aún más complicadas (¡todas en forma de Hessenberg inferior!) para introducirlas en el gran libro de los malos algoritmos.

Answer 2

Suponiendo que esté familiarizado con Teorema de Cayley-Hamilton Esta puede ser una forma alternativa:

Cualquier $2\times2$ La matriz satisface $A^2-\text{tr}(A)A+\det(A)I_2=0 $ . Tomando el rastro de ambos lados, $\begin{align*}&\text{tr}(A^2)-\text{tr}(A)\text{tr}(A)+2\det(A)=0 \Rightarrow\\ &\det(A)=\frac12[\text{tr}(A)\text{tr}(A)-\text{tr}(A^2)]=\frac12\begin{vmatrix}\text{tr}(A)&1\\\text{tr}(A^2)&\text{tr}(A)\end{vmatrix}\end{align*}$

Answer 3

Los "|" a la izquierda y a la derecha de tu matriz probablemente indican que debes tomar también el determinante de esta matriz. No es del todo infrecuente escribir $|A|$ en lugar de $det(A)$ .

Para demostrar la identidad basta con tomar un resumen $2 \times 2$ -Matriz y calcular el lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación.

Answer 4

Se podría utilizar una formulación de valores propios, ya que si $\lambda_1,\lambda_2$ son los valores propios de $A$ entonces $\det(A)=\lambda_1 \lambda_2$ , $tr A=\lambda_1+\lambda_2$ , $tr(A^2)=\lambda_1^2+\lambda_2^2$ . Introdúzcalos en su ecuación y la igualdad obvia se mantiene.

Answer 5

El lado derecho es determinante, es decir, $1/2[(tr A)^2-tr(A^2)]=1/2[(a_{11}+a_{22})^2-(a_{11}^2+2a_{12}a_{21}+a_{22}^2)]=\cdots$