Un sistema particular de dos variables en un grupo

Question

Supongamos que $a$ y $b$ son elementos de un grupo $G$ . Si $a^{-1}b^{2}a=b^{3}$ y $b^{-1}a^{2}b=a^{3}$ , demuestre que $a=e=b$ .

He intentado probarlo pero aún no es concluyente. Por favor, pruébeme. Muchas gracias por las pruebas.

Answer 1

De hecho, es cierto que la presentación $$\langle a,b\ |\ a^{-1}b^na=b^{n+1}, b^{-1}a^nb=a^{n+1}\rangle$$ siempre define el grupo trivial.

He aquí una prueba: Sea $M=n^{n+1}$ , $N=(n+1)^{n+1}$ y comprobar que tenemos $b^{-(n+1)}a^Mb^{(n+1)}=a^N$ .

Ahora también sabemos por las relaciones que $ab^{(n+1)}=b^na$ y de manera similar $b^{-(n+1)}a^{-1}=a^{-1}b^{-n}$ . Así que también tenemos

$$\begin{align} a^N&=b^{-(n+1)}a^Mb^{(n+1)} \\ &=(b^{-(n+1)}a^{-1})a^M(ab^{(n+1)})\\ &=a^{-1}b^{-n}a^Mb^na. \end{align}$$

Así, $a^N=b^{-n}a^Mb^n=a^K$ , donde $K=n\cdot (n+1)^n$ . Así que tenemos $1=a^{N-K}=a^L$ , donde $L=(n+1)^n$ . Pero si $P=n^n$ (¡perdón por todas las letras!), tenemos $b^{-n}a^Pb^n=a^L=1$ donc $a^P=1$ .

Pero $\gcd(P,L)=\gcd(n,n+1)=1$ donc $a=1$ y, por supuesto, esto implica $b^n=b^{n+1}$ Así que también $b=1$ .

Answer 2

Resulta que tengo mi ejemplar de Baumslag & Chandler en la estantería. Este ejercicio aparece como muy difícil . Me parece que he escrito una solución hace 27-28 años. El texto está muy desgastado, así que sólo puedo distinguir los primeros pasos. Maldita sea, necesito una receta para unas gafas nuevas... De todos modos aquí están las tres primeras consecuencias de esas relaciones: $$ a^{-1}b^8a=b^{12}, a^{-1}b^{12}a=b^{18}, a^{-1}b^{18}a=b^{27}. $$ Como consecuencias de las mismas parece que he derivado (hay que rederivarlas para darles todo el crédito) lo siguiente: $$ a^{-2}b^{12}a^2=b^{27}=a^{-3}b^8a^3=b^{-1}a^{-2}b^8a^2b. $$ La siguiente consecuencia parece ser $a^{-2}b^8a^2=a^{-2}b^{12}a^2.$ A partir de ahí el texto está demasiado borroso, pero creo que podría rehacerlo aunque mi cerebro ha perdido casi toda su agilidad con los años. Por si acaso esto es una tarea para casa voy a parar aquí con estas pistas.

Answer 3

En esta respuesta doy crédito a Jyrki Lahtonen por la respuesta que publicó.

Hay agujeros en su post, así que sentí la necesidad de una respuesta paso a paso (en primer lugar para convencerme a mí mismo, pero también a otras personas con dudas), así que aquí está.

$\bbox[5px,border:2px solid]{\begin{array}{cc}a^3=b^{-1}a^2b&(\alpha)\\b^3=a^{-1}b^2a &(\beta)\end{array}}$

$b^{6}=b^3b^3=(a^{-1}b^2a)(a^{-1}b^2a)=a^{-1}b^4a\quad(\alpha)$

$b^{12}=b^6b^6=(a^{-1}b^4a)(a^{-1}b^4a)=a^{-1}b^8a\quad(\alpha)$

$b^{18}=b^{12}b^6=(a^{-1}b^8a)(a^{-1}b^4a)=a^{-1}b^{12}a\quad(\alpha)$

$b^{27}=b^{18}b^6b^3=(a^{-1}b^{12}a)(a^{-1}b^4a)(a^{-1}b^2a)=a^{-1}b^{18}a\quad(\alpha)$

$b^{27}=a^{-1}b^{18}a=a^{-2}b^{12}a^2=a^{-3}b^8a^3=\ (\beta)\ =(b^{-1}a^2b)^{-1}b^8(b^{-1}a^2b)=(b^{-1}a^{-2}b)b^8(b^{-1}b^{-1}a^2b)=b^{-1}a^{-2}b^8a^2b=b^{-1}(a^{-1}(a^{-1}b^8a)a)b=b^{-1}(b^{18})b=b^{18}$

$b^{27}=b^{18}\Rightarrow b^9=1$

$b^9=b^3b^3b^3=(a^{-1}b^2a)(a^{-1}b^2a)(a^{-1}b^2a)=(a^{-1}b^6a)=1\Rightarrow b^6=1\quad (\beta)$

$b^3=b^9b^{-6}=1=a^{-1}b^2a\Rightarrow b^2=1$

$b=b^3b^{-2}=1$ y luego $a^3=b^{-1}a^2b=a^2\Rightarrow a=1\quad (\alpha)$ .

$\bbox[5px,border:2px solid]{a=b=1}$

Answer 4

De otra manera. $$b^2a=ab^3,$$ que da $$b^2ab^{-2}=ab$$ y obtenemos: $$b^2a^3b^{-2}=(ab)^3$$ y desde aquí $$b^2(b^{-1}a^2b)b^{-2}=(ab)^3$$ o $$ba^2b^{-1}=(ab)^3.$$ También, $$b^2a^2b^{-2}=(ab)^2,$$ que da $$a^2=b^{-2}(ab)^2b^2$$ y obtenemos: $$b\left(b^{-2}(ab)^2b^2\right)b^{-1}=(ab)^3$$ o $$b^{-1}(ab)^2b=(ab)^3$$ o $$(ab)^2=(ba)^3.$$ De la misma manera, $$(ba)^2=(ab)^3,$$ que da $$(ab)^2=(ba)(ab)^3$$ o $$ba^2b=e.$$ De la misma manera, $$ab^2a=e.$$ Ahora bien, como $$a^{-1}b^2a=b^3,$$ obtenemos $$a^2b^3=e.$$ En otra mano, $$ab^2a=e$$ da $$b^2=a^{-2}$$ y $$a^2b^2=e.$$ Id est, $$e=a^2b^3=eb=b,$$ $$a=e$$ ¡y hemos terminado!