Lo que Yoneda nos dice sobre la geometría algebraica

Question

Actualmente estoy aprendiendo sobre geometría algebraica relativa, y estoy tratando de recorrer algunos de los fundamentos y ejemplos motivadores antes de pasar a las cosas apropiadas (categorías monoidales simétricas, etc.), comenzando con la categoría $\mathsf{Comm}_k$ de la conmutación $k$ -algebras. A continuación, mi intento de explicar la configuración.

• Definir $\mathsf{Aff}_k=\mathsf{Comm}_k^{\textrm{op}}$ la categoría de esquemas afines sobre $k$ ;
• Definir $\mathsf{Sp}_k=\mathsf{PShv}(\mathsf{Aff}_k)=\mathsf{Fun}(\mathsf{Aff}_k^{\textrm{op}},\mathsf{Set})$ la categoría de $k$ -espacios ;
• El lema de Yoneda nos dice que, para $A\in\mathsf{Aff}_k^{\textrm{op}}$ y $F\in\mathsf{Sp}_k$ ,
  1. $\mathrm{Hom}_{\mathsf{Sp}_k}(Y_A,F)\cong F(A)$ donde el isomorfismo viene dado por la restricción canónica;
  2. el functor $Y_A$ es totalmente fiel;
• Definir $\mathrm{Spec}=Y\colon\mathsf{Aff}_k\to\mathsf{Sp}_k$ El functor del espectro como el functor de Yoneda;
• Tenga en cuenta que $\mathsf{Aff}_k$ es equivalente a la imagen esencial de la incrustación de Yoneda (ya que $\mathrm{Spec}$ es totalmente fiel (por lo anterior) y esencialmente suryente sobre su imagen esencial).

En primer lugar, sería bueno saber si todo lo anterior está libre de errores y es el tipo de enfoque correcto, y si es así (o incluso si no, supongo), aquí están mis preguntas:

1. Para el primer hecho que nos dice el lema de Yoneda en lo anterior, ¿cómo es exactamente la "restricción canónica" en este escenario?
2. ¿Qué nos dice realmente el primer hecho sobre todo este montaje? He utilizado el segundo hecho, que es una especie de corolario del lema de Yoneda, por lo que veo, pero no veo qué nos dice el primer hecho.
3. ¿Por qué nos importa la última parte, que $\mathsf{Aff}_k$ es equivalente a la imagen esencial de la incrustación de Yoneda? Sé que en algunos lugares definir $\mathsf{Aff}_k$ para ser esta imagen esencial, y otros no...
4. Si trabajamos con un modelo de generación finita $k$ -Álgebra $A$ entonces podemos escribir $$A=\frac{k[x_1,\ldots,x_n]}{(f_1,\ldots,f_m)}$$ y entonces tenemos la biyección de conjuntos (si la categoría es pequeña ver más abajo) $$\mathrm{Hom}(A,B)\longleftrightarrow\{y\in B^n\mid f_1(y)=\ldots=f_m(y)=0\}$$ ya que un morfismo viene dado por la elección de un lugar para enviar el $x_i$ pero como el cero debe ser preservado, estas imágenes deben satisfacer la $f_i$ . Pero, ¿estamos trabajando con categorías pequeñas, y deberíamos trabajar sólo con categorías conmutativas de generación finita? $k$ -o es este hecho agradable sólo una forma útil de ver los objetos "agradables" de $\mathsf{Comm}_k$ ?

Sé que son muchas preguntas, así que si sólo respondes a una, por favor que sean 2 o 3 (pero creo que todas están razonablemente relacionadas).

Answer 1

El lema de Yoneda dice que especificando un esquema afín $X$ es lo mismo que especificar su "functor de puntos", es decir, el functor $X(-) : \text{CRing} \to \text{Set}$ que representa. Para que esta observación tenga un peso real hay que conocer ejemplos de esquemas afines que se describen más fácilmente mediante la descripción de sus funtores de puntos.

Por ejemplo, existe un functor $GL_n(-) : \text{CRing} \to \text{Grp}$ enviando un anillo conmutativo $R$ al grupo $GL_n(R)$ de los invertibles $n \times n$ matrices sobre $R$ y enviando un morfismo $R \to S$ de anillos conmutativos al obvio homomorfismo de grupo $GL_n(R) \to GL_n(S)$ . El funtor subyacente valorado por el conjunto de este funtor valorado por el grupo es representable por un esquema afín (ejercicio), y el hecho de que eleve a un funtor valorado por el grupo significa que este esquema afín es un esquema de grupo, o equivalentemente que es $\text{Spec}$ de un álgebra de Hopf conmutativa. Pero no tengo que escribir esta álgebra de Hopf para escribir su functor de puntos.

A nivel de morfismos, existe una transformación natural $\det : GL_n(-) \to GL_1(-)$ que, por el lema de Yoneda, proviene de algún morfismo de álgebras de Hopf en la otra dirección. Pero de nuevo no tengo que escribir este morfismo de álgebras de Hopf para escribir el efecto que tiene sobre los funtores de puntos.