Grupos abelianos tensor-comutativos

Question

Digamos que un grupo abeliano $A$ es tensor-comutativo si la igualdad $x\otimes y=y\otimes x$ tiene en $A\otimes_{\mathbb Z}A$ para todos $x,y$ en $A$ .

La primera pregunta es algo imprecisa:

Pregunta 1. ¿Se pueden caracterizar los grupos abelianos tensor-comutativos?

Es fácil ver que los subcocientes de $\mathbb Q$ son tensorocomutativos, pero no he podido encontrar otros ejemplos, por lo que

Pregunta 2. ¿Existen grupos abelianos tensor-comutativos que no sean subcotientes de $\mathbb Q$ ?

[Esto es (creo) una continuación natural de la pregunta de Paul Slevin ¿Son siempre módulos los bimódulos sobre un anillo conmutativo? Más precisamente, Paul pregunta implícitamente cuáles son los anillos conmutativos $R$ de manera que cualquier $R$ -módulo admite sólo la aburrida $(R,R)$ -estructura de bimodulo. Estos son exactamente los anillos tensor-comutativos. (En particular, esta condición sólo depende del grupo aditivo de $R$ .)]

EDITAR. Como se explica aquí la respuesta a la segunda pregunta es sí. Por lo tanto, parece natural preguntar

Pregunta 3. ¿Existe un anillo tensor-comutativo que sea no un subcociente de $\mathbb Q$ ?

Answer 1

Si $A$ es un grupo abeliano tensor-comutativo, su localización $A_{\mathbb Q}=A\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$ es como máximo un espacio vectorial racional unidimensional. De hecho, se ve fácilmente que $A_{\mathbb Q}$ es un "tensor conmutativo $\mathbb Q$ -espacio vectorial" y esto sólo es posible si $A_{\mathbb Q}$ es como máximo unidimensional.

Esto nos dice que el rango de $A$ es como máximo $1$ . Dado que los grupos libres de torsión de rango $1$ son isomorfos a los subgrupos de $\mathbb Q$ , se trata del caso sin torsión.

En el otro extremo del espectro, supongamos que $A$ es de torsión y tensor conmutativo. Es la suma directa de sus $p$ -componentes principales para todos $p$ y cada uno de ellos es tensor-comutativo. A la inversa, si el $p$ -los componentes primarios son tensor-comutativos, $A$ es (porque el producto tensorial de las componentes correspondientes a diferentes primos es simplemente cero) Sólo tenemos que mirar $p$ -grupos tensor-comutativos de torsión.

Dejemos que $A$ ser tal cosa. Entonces $A/pA$ es un $\mathbb Z/p\mathbb Z$ espacio vectorial que es tensor-comutativo, por lo que debe ser de dimensión como máximo $1$ es decir, cero o un grupo cíclico de orden $p$ . Tal vez se pueda seguir con esto y demostrar que $A$ debe ser un Prüfer $p$ -¿Grupo en este caso? Para ello se quiere saber si $pA$ también es tensor-comutativo.

Answer 2

La respuesta a la segunda pregunta es sí. He aquí un ejemplo de grupo abeliano tensor-comutativo que es no un subcociente de $\mathbb Q$ : $$ M:=\mathbb Q\oplus\mathbb Q/\mathbb Z. $$ Sí, es cierto, $M$ es tensor-comutativo porque el morfismo $(a,b)\otimes(c,d)$ (con $(a,b),(c,d)\in M$ ) a $ac$ es un isomorfismo de $M\otimes M$ en $\mathbb Q$ y $M$ no es un subcociente $S$ de $\mathbb Q$ porque cualquier $S$ es de torsión o libre de torsión (más precisamente, $S$ es un submódulo de $\mathbb Q$ o un subcociente de $\mathbb Q/\mathbb Z$ ).

EDITAR. La respuesta a la tercera pregunta es no. He aquí una prueba.

Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo tensorial, y demostremos que $A$ es un subcociente de $\mathbb Q$ .

Utilizaremos libremente la respuesta de Mariano.

Supongamos que $A\neq0$ . Sea $R$ sea el anillo primo de $A$ .

Caso 1: $R\simeq\mathbb Z/(n),\ n\ge2$ . Reclamación: $A=R$ .

Podemos suponer que $n$ es una potencia de un primo. Entonces $A$ es un $R$ -que contiene $R$ .

Supongamos por contradicción que existe un $a$ en $A$ que no está en $R$ . Para cualquier subgrupo $G$ de $A$ que contiene $1$ y $a$ forman el conmutador $$ c_G:=1\otimes a-a\otimes1\in G\otimes_RG=G\otimes_{\mathbb Z}G. $$ Basta con mostrar $c_A\neq0$ . Incluso basta con comprobar que $c_G$ desaparece para cada subgrupo finitamente generado $G$ de $A$ que contiene $1$ y $a$ . Pero esto está claro porque $R$ es un sumando directo de $G$ .

[Detalles: $G=R\oplus H;\ 1=(1,0);\ a=(r,h);\ h\neq0$ .]

Caso 2: $R=\mathbb Z$ . Reclamación: $A\subset\mathbb Q$ .

Como explica Mariano, basta con demostrar que $A$ es libre de torsión.

El resto del argumento es muy similar al anterior:

Supongamos por contradicción que existe un elemento de torsión no nulo $t$ en $A$ . Para cualquier subgrupo $G$ de $A$ que contiene $1$ y $t$ forman el conmutador $$ c_G:=1\otimes t-t\otimes1\in G\otimes_\mathbb ZG. $$ Basta con mostrar $c_A\neq0$ . Incluso basta con comprobar que $c_G$ desaparece para cualquier subgrupo finitamente generado $G$ de $A$ que contiene $1$ y $t$ .

Dejemos que $G$ sea un subgrupo de este tipo. Entonces $G$ es isomorfo a $\mathbb Z\oplus T$ , donde $T$ es el subgrupo de torsión de $G$ y el resultado es claro.

[Detalles: $G=\mathbb Z\oplus T;\ 1=(z,t_1);\ z\neq0;\ 0\neq t=(0,t)$ .]

Answer 3

Q1. He hecho la misma pregunta en mathoverflow . Will Sawin ha encontrado una clasificación de los módulos tensor-computativos (yo los llamo simtriviales) sobre un dominio Dedekind.

Q3. ¿Se refiere al subcociente después de olvidar la estructura del anillo? Los anillos tensoroconmutativos son precisamente los epimorfismos de anillos conmutativos con dominio $\mathbb{Z}$ . Se pueden clasificar, como anillos. Ver aquí .