Una condición Hausdorff fuerte

Question

¿Es la siguiente forma fuerte de Hausdorff equivalente a la Hausdorff habitual?

$X$ es Hausdorff fuerte si se dan elementos distintos $x,y$ en $X$ hay conjuntos abiertos $U,V \subseteq X$ con $x \subseteq U$ , $y \subseteq V$ y $\overline{U} \cap \overline{V} = \emptyset$ .

Creo que no es equivalente, pero no he podido demostrarlo.

Answer 1

No, esta propiedad se llama ser Urysohn (o a veces completamente Hausdorff ), véase Wikipedia . Allí también encontramos un ejemplo (del libro de Steen y Seebach) de un espacio de Hausdorff pero no de Urysohn: la topología de números enteros relativamente primos: explicación en línea .

Answer 2

Como muestra la respuesta de Henno Brandsma, esta propiedad no es equivalente a Hausdorffness. Otro ejemplo (de construcción propia, aunque dudo mucho que sea original) es el siguiente:

Sea $X = ( \mathbb{N} \times \mathbb{Z} ) \cup \{ -\infty , +\infty \}$ . Para mayor comodidad, por $\mathbb{Z}^{>0}$ denotaré los enteros positivos, y por $\mathbb{Z}^{<0}$ Denotaré los enteros negativos.

Topologizamos $X$ como sigue:

• cada $\langle i,n \rangle$ con $n \neq 0$ está aislado.
• los barrios abiertos básicos de $\langle i,0 \rangle$ son de la forma $\{ \langle i,0 \rangle \} \cup \{ \langle i,n \rangle : |n| \geq k \}$ pour $k > 0$ .
• los barrios abiertos básicos de $-\infty$ son de la forma $\{ -\infty \} \cup A$ donde $A \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{Z}^{<0}$ es tal que $\{ i \in \mathbb{N} : \{ n \in \mathbb{Z}^{<0} : \langle i,n \rangle \notin A\text{ is infinite} \} \}$ es finito.
• los barrios abiertos básicos de $+\infty$ son de la forma $\{ -\infty \} \cup A$ donde $A \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{Z}^{>0}$ es tal que $\{ i \in \mathbb{N} : \{ n \in \mathbb{Z}^{>0} : \langle i,n \rangle \notin A\text{ is infinite} \} \}$ es finito.

(La idea básica es que los subespacios $( \mathbb{N} \times \mathbb{Z}^{<0} ) \cup \{ - \infty \}$ y $( \mathbb{N} \times \mathbb{Z}^{>0} ) \cup \{ +\infty \}$ son copias del Espacio Arens-Fort y cada $\langle i,0\rangle$ es un punto límite de las secciones $\{ i \} \times \mathbb{Z}^{<0}$ y $\{ i \} \times \mathbb{Z}^{>0}$ .)

Es bastante fácil demostrar que $X$ es Hausdorff.

Sin embargo, si $U$ y $V$ son barrios abiertos (básicos) de $-\infty$ , $+\infty$ respectivamente, debe existir un $i \in \mathbb{N}$ tal que $\{ n \in \mathbb{Z}^{<0} : \langle i,n \rangle \in U \}$ y $\{ n \in \mathbb{Z}^{>0} : \langle i,n \rangle \in V \}$ son ambas infinitas, por lo que $\langle i,0 \rangle \in \overline{U} \cap \overline{V}$ .

Answer 3

He aquí otro ejemplo basado en los ejemplos aquí . Para cada número entero $n$ , dejemos que $I_n$ denotan el intervalo abierto $(n,n+1)$ .

Sea $X = \mathbb{R} \cup \{p_0,p_1\}$ donde $p_0$ y $p_1$ son puntos distintos que no pertenecen a $\mathbb{R}$ . Topologizar $X$ declarando $U \subseteq X$ sea abierta si y sólo si se cumple lo siguiente:

• $U \cap \mathbb{R}$ es abierto con respecto a la topología estándar en $\mathbb{R}$
• Si $p_0 \in U$ entonces $U$ contiene todas las $I_0,I_2,I_4,\ldots$
• Si $p_1 \in U$ entonces $U$ contiene todas las $I_1,I_3,I_5,\ldots$

Este espacio es Hausdorff. Sin embargo, si $U$ es una vecindad abierta de $p_0$ o $q_0$ entonces $\overline U$ contiene todos los números enteros positivos excepto algunos finitos. Por lo tanto, las vecindades de $p$ y $q$ nunca pueden tener cierres disjuntos.