optimalidad de 2 en un continuo fracción teorema de

Question

Me voy a dar algunas conferencias sobre fracciones continuas para estudiantes de secundaria y universidad, y yo discutimos el estándar teorema que, para un número real $\alpha$ y enteros $p$ $q$ $q \not= 0$ si $|\alpha-p/q| < 1/(2q^2)$ $p/q$ es convergente en la continuidad de la fracción de expansión de $\alpha$. Alguien del público preguntó si 2 es óptimo: existe un número positivo $c < 2$ tal que, para cada $\alpha$ (bueno, por supuesto, el caso de interés real es irracional $\alpha$), al $|\alpha - p/q| < 1/(cq^2)$ garantía de $p/q$ es convergente para la continuación de la fracción de expansión de $\alpha$?

Tenga en cuenta que este es no respondió por el teorema de Hurwitz, que dice que un irracional $\alpha$ $|\alpha - p_k/q_k| < 1/(\sqrt{5}q_k^2)$ infinitamente muchos convergents $p_k/q_k$, $\sqrt{5}$ es óptimo: todos los $\alpha$ cuyo cont. frac. la expansión termina con una infinita cadena de repetición de 1 de dejar de cumplir con tal propiedad si $\sqrt{5}$ es reemplazado por cualquier número mayor. Para la pregunta de la estudiante en mi conferencia está pidiendo, un parámetro óptimo es en la mayoría de los 2, no al menos 2.

Answer 1

2 es óptimo. Deje $\alpha=[a,2,\beta]$ donde $\beta$ es un (gran) irracional, y deje $p/q=[a,1]=(a+1)/1$. A continuación, $p/q$ no es convergente a $\alpha$, y $${p\over q}-\alpha={1\over2-{1\over \beta+1}}$$ which is ${1\más de(2-\epsilon)p^2}$ since $p=1$.

Más complicado ejemplos pueden ser construidos. Creo que esto funciona, aunque no he hecho todos los cálculos. Deje $\alpha=[a_0,a_1,\dots,a_n,m,2,\beta]$ $m$ $\beta$ grande, vamos a $p/q=[a_0,a_1,\dots,a_n,m,1]$. A continuación, de nuevo $p/q$ no es convergente a $\alpha$, mientras que $$\left|{p\over q}-\alpha\right|={1\over(2-\epsilon)q^2}$$ for $m$ and $\beta$ lo suficientemente grande.