Demostrar que $\lim\limits_{x\to 0^+}(x^{x^x}-x^x)=-1$

Question

Demostrar que $\lim\limits_{x\to 0^+}(x^{x^x}-x^x)=-1$

Aquí ninguno de L Hospital de la regla ni la expansión de la serie está trabajando here.By ¿qué método debe probarse?Gracias.

Answer 1

Considerar el límite $$\lim_{x\to 0^+}\ln(x)e^{x\ln(x)}$$ We know that $\lim_{x\to 0^+}e^{x\ln(x)} =1$ and $\lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty$, so $$\lim_{x\to 0^+}\ln(x)e^{x\ln(x)} =-\infty$$ Hence $$\lim_{x\to 0^+}e^{\ln(x)e^{x\ln(x)}} \equiv e^{-\infty} = 0$$ and you can verify algebraically that $e^{\ln(x)e^{x\ln(x)}} = x^{x^{x}}$.

Answer 2

Definir $f(x)=x^x$. Sabemos que $\lim_{x\to0}f(x)=1$. Ahora bien, ¿cuál es el límite de $x^{x^x}-x^x=x^{f(x)}-f(x)$?

Answer 3

El límite de $\lim_{x \to 0^+} x^x$ es, de hecho, $1$ que se puede mostrar por escrito $x^x = e^{x \ln x}$ como se menciona en otra respuesta y, a continuación, observando la exponencial es continua y $x \ln x \to 0$ que puede ser visto por L'Hospital de la regla después de la primera reescritura como $(\ln x) / (1/x)$.

Una vez que usted sabe que usted puede mostrar a $\lim_{x \to 0^+} x^{x^x} = 0$ eligiendo $x > 0$ lo suficientemente pequeño como para que $x < \epsilon$ $x^x < 1 + \epsilon$ para un determinado pequeño $\epsilon > 0$. Entonces todo lo que tiene para mostrar es que, para este $x > 0$ o menor, usted tiene $0 < x^{x^x} < \epsilon^{1 + \epsilon} < 2 \epsilon$ por ejemplo (donde la última desigualdad se cumple para $\epsilon$ lo suficientemente pequeño, ya que $\epsilon^\epsilon \to 1$). Y luego tomar la $\epsilon$ a 0 le da su resultado.