La motivación de paracompactness

Question

"Un paracompact espacio topológico, espacio en el que cada cubierta abierta admite un localmente finito abierto refinamiento" es la definición de paracompactness en la Wikipedia.

Comparando con la definición de compacidad, "un espacio topológico se llama compacto si cada uno de sus abra las cubiertas tiene un número finito de subcover".

En un primer entendimiento, la diferencia se nota es que, para ser compacto, el espacio debe tener un número finito de subcover para CADA uno de sus abra las cubiertas, por lo que cada espacio compacto sería paracompact.

Me gustaría saber cuál es la motivación en la definición de qué manera ese concepto ayuda a "extender" la noción de compacidad y algunos ejemplos en los que paracompactness es una propiedad importante; si ellos son ejemplos de topología diferencial o el análisis funcional, aún mejor. Gracias de antemano.

Answer 1

Como Mike Miller dijo, paracompactness le da las particiones de la unidad, y cualquier cosa que usted puede ser que desee hacer usos de las particiones de la unidad. Permítanme hacer una breve lista de propiedades deseables de un paracompact suave colector disfruta.

Uno siempre puede definir una métrica de Riemann, y por lo tanto ordinaria de la función de distancia (no paracompact espacios no metrizable!)

Cada verdadero vector paquete es isomorfo a su doble (esto es esencialmente el punto anterior).

Definición de integración de forma compacta compatible formas en una orientada al colector requiere paracompactness.

Vector de paquetes de más de un colector pueden ser clasificados en: Un vector paquete sobre el colector se corresponde con el retroceso de la tautológica paquete sobre algunos grassmannian por algún mapa. Esto no es para los no-paracompact colectores.