¿Qué viene después de las ecuaciones diferenciales?

Question

En primer lugar, por favor disculpe la falta de terminología correcta, no he aprendido ecuaciones diferenciales en la escuela (todavía) por lo que esta pregunta proviene de un poco de investigación que hice para mi propio disfrute.

Estaba leyendo sobre ecuaciones diferenciales y lo primero que leí fue que su resultado es una función o una familia de funciones. Así que pensé, si el resultado de las funciones son números y el resultado de las ecuaciones eifferenciales son familias de funciones, ¿hay algo cuyos resultados sean una familia de ecuaciones diferenciales?

Como no conozco la terminología del tema, no sé qué buscar en Google para encontrar la respuesta, así que vengo a pedirte ayuda. ¿Qué viene después de las ecuaciones diferenciales?

Muchas gracias.

No formulé la pregunta correctamente. Lo siento, intentaré dar un ejemplo.
En esta ecuación normal $x^2+2x-3=0$ las soluciones son $x_{1}=-3$ y $x_{2}=1$ . Las soluciones son números.

En esta ecuación diferencial $ \frac {dx}{dt} = 5x -3$ la solución es $$x(t) = Ce^{5t}+ \frac {3}{5}.$$

La solución es una función/ecuación normal.
(Tomó el ejemplo de la ecuación diferencial de esta página http://mathinsight.org/ordinary_differential_equation_introduction_examples )

Lo que quiero saber es si hay un tipo de ecuaciones cuyas soluciones son ecuaciones diferenciales.

Answer 1

Creo que las respuestas dadas aquí están tan ocupadas tratando de decirte cómo pensar en las matemáticas que no se han molestado en decirte la respuesta a tu pregunta. No hay nada malo en tu forma de pensar. Después de las ecuaciones diferenciales ordinarias está el cálculo de variaciones. En esta asignatura aprendes (vagamente) que para encontrar un extremo de un funcional puedes tomar el operador de euler-lagrange sobre el funcional y esto te dará un conjunto de ecuaciones diferenciales. Luego puedes resolver estas ecuaciones diferenciales para encontrar las ecuaciones de movimiento de tu sistema.

Answer 2

Las matemáticas no son una jerarquía de tipos de ecuaciones cada vez más complicadas.

Las ecuaciones diferenciales son importantes porque, entre otras cosas, han proporcionado un lenguaje a la física para discutir muchos problemas y entender el comportamiento de sus sistemas. Desde ese punto de vista, las ecuaciones diferenciales no son más que ecuaciones numéricas que se mantienen en muchos puntos.

Pero las matemáticas son mucho más que eso. Se trata de estructuras lógicas (vagamente motivadas por los sistemas numéricos) y sus relaciones.

Para responder a tu pregunta de forma más específica, como sugiere nayrb, no creo que exista un tipo de marco estándar en el que se escriban ecuaciones de ecuaciones diferenciales. Ten en cuenta que el término "ecuación" implica que tienes algún objeto con el que haces operaciones: en tus ecuaciones numéricas y diferenciales, puedes sumar y multiplicar números y funciones respectivamente. Para escribir ecuaciones de ecuaciones diferenciales, debes definir operaciones entre ecuaciones diferenciales. No digo que no sea posible, pero me resulta difícil imaginar cómo hacerlo.

Answer 3

Estoy completamente de acuerdo con la respuesta de Martin, y creo que es la correcta. No obstante, me gustaría intentar responder más directamente a la pregunta planteada.

Hay ciertas situaciones en las que una ecuación diferencial es la solución de un problema. Un ejemplo sencillo sería pedir una ecuación diferencial que satisfaga ciertas propiedades. Yo hice una pregunta así, aquí y obtuve algunas respuestas estupendas.

Las ecuaciones diferenciales parciales desempeñan un papel muy importante en la física, y muchos problemas de modelización de sistemas físicos equivalen a averiguar correctamente cómo establecer un sistema de ecuaciones diferenciales parciales. Señalaré que el descubrimiento de las leyes del movimiento por parte de Newton es otro ejemplo de "problema" cuya "solución" es una ecuación diferencial.

En matemáticas puras este tipo de situaciones son mucho más raras, pero se me ocurre una. Las ecuaciones diferenciales parciales desempeñan un papel importante en la teoría de las superficies, y también de los colectores. Hay un problema que pide una incrustación isométrica de un colector como superficie en $\mathbb{R}^N$ cuya solución es un sistema de ecuaciones diferenciales parciales, Ver aquí .

Answer 4

Piensa en hacer Cálculo I,II,III y DFQ como si estuvieras sentado en una catapulta pasando por la preparación para ser lanzado. Una vez que hayas completado el DFQ, serás lanzado al cielo. Y como sabes, el cielo es el límite. Así que, como han mencionado otros, has formado una base de conocimientos matemáticos que te permite embarcarte en diferentes caminos, que van desde el análisis real, el análisis complejo, el álgebra matricial, la geometría dif, etc.