Para cualquier espacio topológico $X$ , defina un functor $\times X:\mathbf{Top}\to\mathbf{Top}$ por $Y\mapsto Y\times X$ (y actuando sobre los hom-sets de forma natural). Sé que si $X$ es localmente compacto, entonces $\times X$ tiene un adjunto derecho, a saber $Y\mapsto Y^X$ (dotado de topología compacta-abierta). También he oído que el adjunto derecho de $\times X$ no existe para todos los espacios topológicos $X$ . Así que me pregunto si hay alguna descripción más visible de la clase de espacios topológicos $X$ tal que los adyacentes izquierdos de $\times X$ ¿existen? Cualquier idea será apreciada.
Respuesta
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En general, en una categoría $\mathsf{C}$ que tiene productos, un objeto $c$ tal que $- \times c : \mathsf{C} \to \mathsf{C}$ tiene un adjunto derecho se llama exponenciable . Hay varias caracterizaciones de objetos exponenciables en $\mathsf{Top}$ y puede encontrar algunos de ellos en este $n$ Artículo de laboratorio :
Teorema (Exponibilidad, I). Un objeto $X$ de $\mathsf{Top}$ es exponenciable si y sólo si $X \times -: \mathsf{Top} \to \mathsf{Top}$ preserva los coigualadores, o equivalentemente los espacios cotizantes.
Para subconjuntos abiertos $U$ y $V$ de un espacio topológico $X$ escribimos $V \ll U$ para significar que cualquier tapa abierta de $U$ admite una subcubierta finita de $V$ esto se lee como $V$ es relativamente compacto bajo $U$ o $V$ está muy por debajo de $U$ . Decimos que $X$ es núcleo-compacto si para cada barrio abierto $U$ de un punto $x$ existe una vecindad abierta $V$ de $x$ con $V \ll U$ . En otras palabras, $X$ es núcleo-compacto si para todos los subconjuntos abiertos $V$ tenemos $V=\bigcup \{ U \mid U \ll V \}$ .
Si $X$ es Hausdorff, entonces la compacidad de núcleo es equivalente a la compacidad local.Teorema (Exponibilidad, II). Un objeto $X$ de $\mathsf{Top}$ es exponenciable si y sólo si es núcleo-compacto.
En particular, un espacio de Hausdorff es exponenciable si es localmente compacto.
Una advertencia: en general, aunque $Y^X$ existe, puede darse el caso de que $Y^X$ no es exponencial. Esto ha llevado a la búsqueda de lo que se llama un categoría conveniente de espacios topológicos : se puede pensar en ella como una categoría de espacios (una subcategoría completa de $\mathsf{Top}$ ) que puede utilizar para todas sus operaciones habituales. Hay múltiples candidatos, por ejemplo los espacios Hausdorff débilmente generados de forma compacta. Todo depende de lo que quieras hacer con ellos.
