Cuando se LIATE simplemente mal?

Question

Me dedico a la enseñanza de Cálculo II, y ayer me cubiertos integración por partes y mencionó la LIATE la regla. También me dio el habitual "funciona el 99% del tiempo", pero comencé a preguntar si existen casos donde LIATE obtiene simplemente la elección de $u$ $v'$ mal.

(Para aquellos de ustedes que no saben lo que LIATE es, echa un vistazo https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts#LIATE_rule )

No creo que el ejemplo que aparece en el enlace de arriba para ser lo que estoy buscando, porque no considero a $e^{x^2}$ es una función exponencial de aquí (sólo $a^{bx}$). (No considero a $\tan x$ a ser un "trig" de la función, ya sea, en este contexto).

¿Alguien tiene una "mascota" de ejemplo que se muestran?

Answer 1

Un par de ellos, me encontré en un blog, resumir aquí: $$\int{x^3\sin{x^2}dx}$$ Aquí $u=x^3$ que usted podría elegir en base a LIATE no funciona ya que es difícil (si no imposible) para calcular la antiderivada de $\sin{x^2}$. La 'correcta' opción sería la $u=x^2$, de modo que $dv=x\sin{x^2}$, lo que hace el trabajo.

O $$\int\frac{xe^x}{(1+x)^2}dx$$ Con el LIATE regla que iba a intentar algo como $u=\frac{x}{(1+x)^2}$ $dv=e^xdx$ que se requieren para calcular el $\int e^x\frac{(1+x^2)-2(1+x)x}{(1+x)^4}dx$. La 'correcta' elección sería la $u=e^x$$dv=\frac{x}{(1+x)^2}dx$, y con $w=1+x$: $$v=\int\frac{x}{(1+x)^2}dx=\int\frac{w-1}{w^2}dw=\log(1+x)+\frac{1}{1+x}\\ \int\frac{xe^x}{1+x^2}dx=e^x(\log(1+x)+\frac{1}{1+x})-\int{(\log(1+x)+\frac{1}{1+x})e^xdx}\\ =e^x(\log(1+x)+\frac{1}{1+x})-\log(1+x)e^x+C\\ =\frac{e^x}{1+x}+C $$ Fuente: https://mathnow.wordpress.com/2009/10/14/liate-ilate-and-detail