Se trata de una pregunta en un concurso de matemáticas, donde ninguna de ellas estaba permitido. También, tenga en cuenta que sólo una (>,< o =) relación está siendo buscado y no el valor de los números por sí mismo.
Que es más grande, $\sqrt[2015]{2015!}$ o $\sqrt[2016]{2016!}$ ?
Lo que he hecho:
Mi enfoque es dividir un número por el otro, e inferir a partir del resultado que número es el más grande;
WolframAlpha da $\frac{\sqrt[2016]{2016!}}{\sqrt[2015]{2015!}}=1.0049\ldots$, por lo que claramente $\sqrt[2016]{2016!}>\sqrt[2015]{2015!}$
Deje $a=\sqrt[2016]{2016!}$ $b=\sqrt[2015]{2015!}$
$\therefore a=\sqrt[2016]{2016!}={2016!}^{1 \over 2016}=2016^{1 \over 2016}\times2015!^{1\over 2016}=\sqrt[2016]{2016}\cdot \sqrt[2016]{2015!}$
$\therefore b=\sqrt[2015]{2015!}={2015!}^{1 \over 2015}={2015!}^{\frac{2016}{2015}\cdot\frac{1}{2016}}=\sqrt[2016]{2015!^{2016 \over 2015}}$
Por lo tanto
$$\begin{align}
\require{cancel}
\frac{a}{b}=\frac{\sqrt[2016]{2016!}}{\sqrt[2015]{2015!}}&=\frac{\sqrt[2016]{2016}\cdot \sqrt[2016]{2015!}}{\sqrt[2016]{2015!^{2016 \over 2015}}}\\
&=\sqrt[2016]{2016}\cdot \sqrt[2016]{2015!^{\frac{-1}{2015}}}= \cancelto{*}{\sqrt[2016]{\frac{2016}{2015!^{2015}}} \quad \text{which appears to be} <1}\\
=\sqrt[2016]{\frac{2016}{2015!^\frac{1}{2015}}}\\
\end{align}$$
Que es $\cancelto{*}{\frac{a}{b}<1 \implies a<b}$ cual es falso, como por el resultado de WA.
EDITAR:
*: Corrección debido a un error señalado por Daniel Fischer.
Pero ahora estoy atascado; ¿cómo puedo deducir lo que el valor es $\sqrt[2016]{\frac{2016}{2015!^\frac{1}{2015}}}$?
Así que, ¿de dónde me salen mal?. ¿Cómo debo proceder ahora?
