¿Por qué probabilidad necesario el Axioma de pares distintos eventos?

Question

Soy un estudiante principiante de la Probabilidad y la Estadística y he estado leyendo el libro Elemental de Probabilidad para Aplicaciones de Rick Durret.

En este libro, describe los 4 Axiomas de la Probabilidad.

1. Para cualquier evento $A$, $0 \leq P (A) \leq 1$.
2. Si $\Omega $ es el espacio muestral, a continuación,$P (\Omega) =1$.
3. Si $A$ $B$ son disjuntas, es decir, la intersección $A \cap B = \emptyset$, luego $$P(A\cup B) = P(A) + P(B)$$
4. Si $A_1, A_2,\ldots$, es una secuencia infinita de pares distintos eventos (es decir, $A_i\cap A_j = \emptyset$ al$i \neq j $), a continuación, $$P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(A_i).$$

El libro no explica por qué necesitamos Axioma 4. He intentado buscar en la Wikipedia pero no he tenido suerte. No entiendo cómo podemos tener una probabilidad de distinto infinita de eventos. El libro afirma que cuando la tienes infinidad de eventos, el último argumento se rompe y esta es ahora una nueva hipótesis. Pero luego dice el libro que tenemos esta o de otra forma la teoría de la Probabilidad se convierte en inútil.

Me preguntaba si había alguna intuitiva ejemplos de situaciones donde este cuarto axioma aplica.

¿Por qué es tan importante para probabilty teoría? ¿Y por qué el estado autor de que no todo el mundo cree que deberíamos utilizar este axioma.

Answer 1

Observe que si $A,B,C$ son pares distintos, que han \begin{align} \Pr(A\cup B\cup C) & = \Pr(A\cup B)+\Pr(C) & & (\text{since }A\cup B\text{ is disjoint from }C) \\[6pt] & = \Pr(A) + \Pr(B) + \Pr(C) & & (\text{since }A\text{ is disjoint from }B) \end{align} y lo mismo se puede hacer con cualquier finito secuencia de pares distintos eventos sólo aplicando el Axioma 3, repetidamente (o para decirlo de otra manera, por inducción matemática).

Sin embargo, hay asignaciones de números a los subconjuntos de un conjunto que satisface los tres primeros axiomas, aunque no para satisfacer el cuarto. El cuarto axioma reglas de tales sistemas. He aquí un ejemplo sencillo: Supongamos $A\subseteq \{1,2,3,\ldots\}$. Vamos $$ P(a) = \lim_{n\to\infty} \frac{|A \cap \{1,\ldots,n\}|} n. $$ Para algunos juegos (por ejemplo el conjunto de todos los números enteros cuyo primer dígito es $5$) este límite no existe. Sin embargo, para los pares de conjuntos disjuntos $A$ $B$ para las que el límite no existe, el tercer axioma sostiene, como lo hacen los dos primeros. Pero el cuarto axioma falla: $$ P\left( \bigcup_{n=1}^\infty \{n\} \right) = P (a\{1,2,3,\ldots\}) = 1 \ne 0 = \sum_{n=1}^\infty 0 = \sum_{n=1}^\infty P(\{n\}). $$ Por lo tanto el cuarto axioma no es redundante.

Ahora supongamos que usted lanza una moneda varias veces hasta que la primera vez que se consigue una "cabeza". ¿Cuál es la probabilidad de que el número de $X$ de los ensayos es aún? Es $$ \Pr(X\in\{2,4,6,8,10,\ldots\}) = \sum_{n\text{ incluso}} \Pr(X=n). $$ No utilice Axioma 4.

\begin{align} & \Pr(X\in\{2,4,6,8,10,\ldots\}) = \sum_{n\text{ even}} \Pr(X=n) \\[6pt] = {} & \sum_{n\text{ even}} \Pr(\text{"tail'' on first }n-1\text{ trials and "head'' on } n \text{th trial}) \\[6pt] = {} & \sum_{n \text{ even}} \left( \frac 1 2 \right)^n = \frac{1/4}{1-1/4} = \frac 1 {4-1} = \frac 1 3. \end{align}

Answer 2

Otra cosa a destacar es que el cuarto axioma nos da una manera de lidiar con countably secuencia infinita de eventos. En otras palabras, nos permite tomar el límite! $$P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(A_i)=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n P(A_i).$$ Mientras que los tres primeros axiomas sólo puede lidiar con finito de eventos.