Un problema de sesgo de simetría de la matriz de

Question

Si $A∈M(n;\mathbb{R})$, vamos a $A^t$ denotar su transpuesta. Una matriz de $S\in M(n;\mathbb{R})$ se dice que skew-simétrica si $S^t = −S$. Recoger las declaraciones verdaderas:

una. Si S ∈ $M(n;\mathbb{R})$ es sesgar-simétrica y no singular, entonces a $n$ es incluso.

b. Deje $G = \{T ∈ GL(n;\mathbb{R})\mid T^t ST = S$, para todos los skew-simétrica $S ∈ M(n;\mathbb{R}$}. A continuación, $G$ es un subgrupo de $GL(n;\mathbb{R})$.

c. Deje $I_n$ $O_n$ el valor del $n \times n$ identidad y null matrices respectivamente. Deje $S$ $2n \times 2n$ de la matriz dada en forma de bloque por $\left[\matrix{O_n&I_n\cr -I_n&O_n}\right]$.

Si $X$ $2n×2n$ matriz tal que $X^t S+SX = 0$, entonces la traza de $X$ es cero.

Por favor, ayudar a alguien a resolver el problema. Mi pensamiento como:- (a) es verdadera como cada sesgar matriz simétrica de orden impar es singular. Para(b) y (c) ni idea. Gracias.

Answer 1

Sugerencias:
(a) Nota de Aarón sugerencia ( $\det(A^t)=\det(A)$ ) y recordar que $\det(\alpha A)=\alpha^n \det(A)$ todos los $\alpha\in\mathbb{R}$.
(b) Recuerde que para $T\in\rm{GL}_n(\mathbb{R})$ tenemos $\left(T^{-1}\right)^t=\left(T^t\right)^{-1}$ y que para todos los $A,B\in \rm{M}_n(\mathbb{R})$, $B^tA^t=(AB)^t$. Ahora compruebe el grupo de axiomas.
(c) ¿Cuál es $S^{-1}$? Usted puede encontrar mediante la comprobación de ejemplos más pequeños. ¿Qué es $SXS^{-1}$? Calcular esta utilizando pequeños ejemplos así.