El objetivo en un curso de ecuaciones diferenciales?

Question

Como solía entender, el objetivo principal de un estudiante al aprender ecuaciones diferenciales es que, dada una ecuación diferencial, él debería ser capaz de resolverla. Sin embargo, mientras leía recientemente una nota sobre la historia de las ecuaciones diferenciales, me encontré con el siguiente párrafo:

Una nueva era comenzó con la fundación de lo que ahora se llama teoría de funciones por Cauchy, Riemann y Weierstrass. El estudio y clasificación de funciones de acuerdo con sus propiedades esenciales, distintas de los accidentes de sus formas analíticas, pronto llevó a una completa revolución en la teoría de las ecuaciones diferenciales. Se hizo evidente que la verdadera pregunta planteada por una ecuación diferencial no es si una solución, supuesta que exista, puede ser expresada por medio de funciones conocidas, o integrales de funciones conocidas, sino en primer lugar si una ecuación diferencial dada realmente es suficiente para la definición de una función de la variable independiente (o variables), y, de ser así, cuáles son las propiedades características de la función así definida. Pocas cosas en la historia de las matemáticas son más notables que los desarrollos a los que este cambio de perspectiva ha dado lugar.

Mis preguntas son:

1. ¿Cómo se hizo evidente eso?

2. ¿Qué cambios destacados ha traído este punto de vista?

Gracias.

Answer 1

Su pregunta merecería una respuesta muy larga y complicada. Para resumir, se puede pensar en el desarrollo del concepto de función. Al principio, una función era una ecuación, es decir, una fórmula $y=\ldots$ escrita por "átomos" elementales (potencias, logaritmos, senos, cosenos, etc.). Luego quedó claro que una idea "abstracta" de función era más útil que eso: a veces no hay una combinación finita de "átomos" para escribir una función, y sin embargo se pueden estudiar sus propiedades, como $\int e^{x^2}\, dx$.

En el ámbito de las ecuaciones diferenciales, la mayoría de las ecuaciones no tienen soluciones explícitas y elementales. Las soluciones se encuentran integrando expresiones complicadas, a veces se encuentran de forma implícita, y no hay esperanza de escribir una solución como $y=\ldots$

No soy un experto en historia, pero el gran avance ocurrió cuando comenzó a desarrollarse el análisis funcional. Una ecuación diferencial es simplemente (!) una ecuación cuyo desconocido se encuentra en un espacio de funciones. Desde este punto de vista, es más importante estudiar propiedades cualitativas de las soluciones, en lugar de escribir una fórmula loca con series de potencias, funciones especiales, y demás. Creo que el estudio de ecuaciones diferenciales ha sido un problema estimulante para una gran parte del análisis matemático moderno, en los últimos 150 años (más o menos). Solo piensa en el análisis funcional no lineal, que nació principalmente para resolver ecuaciones diferenciales como problemas de punto fijo o variacionales.

No puedo decir si hubo una razón precisa, en la historia de las matemáticas, por la que los matemáticos tuvieron que abandonar las soluciones explícitas. La necesidad probablemente creció lentamente.

Answer 2

Una simple razón por la que uno no puede esperar soluciones exactas en "forma cerrada" es que hay ecuaciones diferenciales que no pueden ser "resueltas", es decir, se sabe que tienen soluciones que no tienen una "forma cerrada", las soluciones son inexpresables en términos de ninguna función que exista en la literatura.

En el extremo más extremo, se pueden crear ecuaciones diferenciales donde se sabe que las propiedades de las soluciones son incalculables. Esto es muy similar al hecho de que hay números reales que son incalculables - en principio es imposible escribir un algoritmo de computadora para crear la expansión decimal de estos números. Básicamente esto se debe a que la cantidad de algoritmos de computadora que se pueden escribir es contable, pero la cantidad de números reales no lo es.

Hay un hilo bastante largo en MO sobre este tema que proporciona muchos detalles adicionales:

https://mathoverflow.net/questions/15292/why-cant-there-be-a-general-theory-of-nonlinear-pde

Answer 3

Creo que la razón es el comportamiento cualitativo y caótico del problema de los n-cuerpos. Creo que el caos y los problemas de n-cuerpos fueron la causa del cambio.