Los números primos de la forma $p=a^2-2b^2$.

Question

Me he tropezado con esto y me preguntaba si alguien de aquí podría venir para arriba con una simple prueba:

Deje $p$ ser un primo tal que $p\equiv 1 \bmod 8$, y deje $a,b\geq 1$ tal que $$p=a^2-2b^2.$$ Pregunta: Es $b$ necesariamente una plaza modulo $p$?

Tengo un montón de datos numéricos para apoyar una respuesta afirmativa, pero la prueba me escapa hasta el momento. Por ejemplo: \begin{align*} 17 & = 5^2 - 2\cdot 2^2\\ &= 7^2 - 2\cdot 4^2\\ & = 23^2 - 2\cdot 16^2\\ & = 37^2 - 2\cdot 26^2\\ & = 133^2 - 2\cdot 94^2\\ \end{align*} y $2\equiv 36$, $4$, $16$, $26\equiv 9$, $94\equiv 9 \bmod 17$ son cuadrados.

Gracias!

Answer 1

Desde $p\equiv 1\pmod 8$, $2$ es una plaza modulo $p$. Por lo tanto, será suficiente para demostrar que cualquier extraño divisor primo de $b$ es también un cuadrado modulo $p$. Entonces cualquier divisor primo de $b$ será un cuadrado modulo $p$, por lo $b$ sí será.

Deje $q$ ser un extraño divisor primo de $b$, y consideramos que su ecuación módulo $q$. Usted encontrará que $p\equiv a^2 \pmod{q}$, por lo que el $p$ es un cuadrado modulo $q$. Por la reciprocidad cuadrática (el uso que $p\equiv 1\pmod 4$), $q$ es una plaza modulo $p$.