Es $H_0$ ser un conjunto cerrado un convenio en la prueba de hipótesis?

Question

En el estadístico de prueba de hipótesis, la hipótesis nula $H_0$ a menudo toma la forma de (al menos en los libros que he leído): $$ \begin{align*} H_0:&\theta=\theta_0\\ H_0:&\theta\le\theta_0 \end{align*} $$ o $$ H_0:\theta_1\le\theta\le\theta_2 $$

Es sólo una convención que la pone en $H_0$ están cerradas? O hay otros motivos?

Answer 1

Si por abierto/cerrado quieres decir $[a,b]$ vs $(a,b)$, entonces es en un dominio continuo no hacer una diferencia. Considere la posibilidad de un continuo pdf definida en el dominio $a$$b$. La integral sobre la $[a,b]$ será igual a la integral sobre $(a,b)$ debido a que la integral sobre un solo punto es cero, de modo que la exclusión de cualquier contables conjunto de puntos desde el integrando no cambia su valor.

Ahora, en algunos filosofía: en general, nuestra hipótesis nula es una afirmación de que algún parámetro de población es la misma en todos los tratamientos, o que los parámetros están dentro de algunos define la tolerancia de cada uno de los otros. Ya estamos trabajando para solucionar esta tolerancia, tiene sentido definir con un conjunto cerrado, donde el conjunto está cerrado hasta el máximo de tolerancia, por ejemplo, $H_0: \theta \le \theta_0$ donde $\theta_0$ define la cantidad máxima permisible de la tolerancia. Ya que estamos en la parametrización de nuestra hipótesis respecto a los máximos admisibles de tolerancia, tiene sentido usar cerrado la notación aquí. Pero, como se describió anteriormente, esta hipótesis es funcionalmente equivalente a $H_0: \theta \lt \theta_0$, pero la interpretación es un poco más raro ahora: $\theta_0$ ahora denota el mínimo rechazo del valor del parámetro, por lo que el margen de tolerancia es infinitesimalmente cerca, pero no es igual a $\theta_0$. Creo que estarás de acuerdo en que por lo general tiene más sentido para los efectos de interpretación para definir la hipótesis nula con respecto al rango permisible de los valores de parámetro.

Si significaba algo diferente por cerrado y abierto (tal vez significaba que en algunos técnica sentido topológico que me perdí), sírvanse explicar.