Cuando estamos (no) permitir la sustitución de la $x$$ix$?

Question

Parece ser bastante común, la manipulación de reemplazar$x$$ix$.

Cada vez que veo que se está haciendo en un libro de texto, puedo confiar ciegamente en que el autor, sin realmente entender cuando se nos permite hacerlo en cada caso en particular y cuando no.

Si conoces alguna ejemplos de falsos uso, yo estaría encantado de aprender de ellos.

Lo que generalmente se necesita tener en mente mientras que la sustitución de $x$$ix$?

Por ejemplo, si se sustituye la $x$ $ix$ en el siguiente:

$$ x \coth(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n}}{(2n)!}B_{2n}x^{2n} $$ ¿cuál debe ser la correcta justificación de la sustitución?

1. Debido a $ix$ es sólo una rotación de $x$, lo $|x|=|ix|$, por lo tanto, si la serie converge para $x$, entonces no lo $ix$.
2. Debido a que ambos LHS y RHS se definen para un argumento complejo.

Ambos/uno/ninguno de ellos? ¿Qué podría salir mal?

Answer 1

Considere la posibilidad de su ejemplo $$ x \coth(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n}}{(2n)!}B_{2n}x^{2n} $$

Ambos lados son funciones analíticas de $x$. Ya que están de acuerdo en un conjunto con un punto límite (un intervalo de la recta real), también estoy de acuerdo con complejo de números de $x$. Que es más que simplemente para los números complejos de la forma $ix$.

Answer 2

Su ejemplo de "falso" uso de la realidad no es un ejemplo, ya que $\cos(ix)+i\sin(ix)$ igual $e^{-x}$. Las reglas para la sustitución son básicamente correctas, con una salvedad: regla 1 debe leer en su lugar

1.Debido a $|x|=|ix|$, si la serie converge absolutamente para $x$ entonces también se hace por $ix$.

En general, una serie puede converger para $x$ pero no $ix$. Consideremos por ejemplo el de la serie $$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$$ que converge para$x=-i$, pero no por $ix=1$.

Answer 3

Su " mal " ejemplo de ello es la derecha! Ambos lados son funciones analíticas que acepta en todas partes. (Ver, por ejemplo, WolframAlpha.)

Ninguna de sus normas suficiente en general; c.f. $|x|^2=x^2$.

La razón más común por la que esto funciona es que si $f(z),g(z)$ definida para todos los $z$ en algunos abiertos conjunto conectado a $U\subset\mathbb C$ (por algún método como el poder de la serie) son analíticas (complejo diferenciable/igual a su potencia de la serie), a continuación, $$f(z)=g(z)\quad\text{ for } z\in S \implies f(z)=g(z)\text{ for } z\in U$$ siempre $S\subset U$ es "lo suficientemente grande", como una línea de $\mathbb R\subset \mathbb C$. (Se necesita un punto límite.)

Así que ¿por qué no $|x|^2=x^2$ trabajo? Debido a $|z|^2=z\times\bar z$ no es analítica; involucra $\bar z$.