Trucos para una rápida lectura de los autovalores de una matriz

Question

Me di cuenta de que algunos matemáticos tienen una extraña habilidad para identificar los valores propios de las matrices sin hacer mucho en el camino de la computación.

Por ejemplo, uno podría darse cuenta de que todas las filas tienen la misma suma, del que se desprende que la suma debe ser un valor propio.

No puede ser de ninguna forma sencilla de encontrar los autovalores de matrices arbitrarias, pero lo especial de los casos podríamos buscar donde encontrar los valores propios son de fácil? Qué trucos ¿sabes?

Answer 1

Este es un soft pregunta sin respuestas objetivas, pero puedo enumerar algunos de los casos en los que encontrar los valores propios (o al menos un autovalor) es fácil:

• Singular matrices con evidente kernels
• Diagonal o matrices triangulares
• Bloque-diagonal de las matrices con facilidad analizado bloques
• Matrices con conocidos espectro que se han espectralmente desplazado (sumando o restando una mutiple de $I$)
• Poderes (incluyendo la inversa) de una matriz con los conocidos espectro
• Productos que implican una matriz de conocido el espectro y su transpuesta

Answer 2

Supongamos que tenemos una matriz de $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$.

Si $A = O_n$, el autovalor de a$A$$0$, con multiplicidad $n$.

Si la primera $n-1$ filas o columnas de $A$ son cero o un múltiplo de la $n$-ésima fila o columna, entonces tenemos un rango de-$1$ matriz que puede ser escrita en la forma

$$A = \mathrm{u} \mathrm{v}^T$$

donde $\mathrm{u}, \mathrm{v} \in \mathbb{R}^n$. Como el espacio nulo de a $\mathrm{v}^T$ $(n-1)$dimensiones, el espacio nulo de a $A$ al menos $(n-1)$-dimensional. Por lo tanto, $0$ es un autovalor de a $A$ con la multiplicidad, al menos,$n-1$. Dado que la traza es la suma de los valores propios, el otro autovalor es

$$\lambda = \operatorname{tr} (A) = \operatorname{tr} (\mathrm{u} \mathrm{v}^T) = \operatorname{tr} (\mathrm{v}^T \mathrm{u}) = \mathrm{v}^T \mathrm{u} = \langle \mathrm{u}, \mathrm{v} \rangle$$

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Por ejemplo, supongamos que tenemos

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}$$

Como la 2ª y 3ª fila son iguales a la 1ª, llegamos a la conclusión de que $\operatorname{rank} (A) = 1$. Por lo tanto, uno de los autovalores de a$A$$0$, con multiplicidad $2$. El otro autovalor es $\operatorname{tr} (A) = 3$, con multiplicidad $1$.

Answer 3

Un truco para saber si los eigen valores que hemos encontrado son los de la derecha es para comprobar si la suma de eiven valores es igual a la traza (suma de los elementos de la diagonal) . También si el producto de los valores propios es igual al determinante de la matriz de rhen los valores propios se encuentran son correctos .