Supongamos $\cos(2 \pi/7)=\sqrt[3] r+\sqrt q+p$ para algunos números racionales $r,p,q.$
Hay tres casos:
En primer lugar, supongamos $q$ no es un cuadrado y $r$ no es un cubo en $\Bbb Q$. A continuación, $\sqrt q+\sqrt[3]r$ tiene el grado $6$$\Bbb Q$. Esto es porque si $K$ es el Galois cierre de $\Bbb Q(\sqrt q,\sqrt[3]r)$, entonces cada incrustación $\iota$ $\Bbb Q(\sqrt q,\sqrt[3]r)$ a $K$ está determinado por $\iota(\sqrt q)$$\iota(\sqrt[3] r)$, e $\iota(\sqrt q)$ $\iota(\sqrt[3] r)$ puede ser cualquier conjugado $\Bbb Q$ $\sqrt q$ $\sqrt[3] r$ respectivamente.
Sin embargo, si $\iota_1$ $\iota_2$ son distintos incrustaciones de $\Bbb Q(\sqrt q,\sqrt[3] r)$ a $K$, entonces es claro a partir de lo que he escrito anteriormente que $\iota_1(\sqrt q+\sqrt[3]r)\neq \iota_2(\sqrt q+\sqrt[3]r)$, y por lo tanto $\sqrt q+\sqrt[3]r$ tiene al menos seis conjugados $\Bbb Q$, por lo tanto $\sqrt q+\sqrt[3]r+p$ tiene al menos seis conjugados$\Bbb Q$, por lo que no podemos tener $\cos(2\pi/7)=\sqrt q+\sqrt[3]r$ $\cos(2\pi/7)$ tiene el grado $3$ $\Bbb Q$ desde $$\cos(2\pi/7)=\frac{\zeta_7+\zeta_7^{-1}}{2},$$
y es fácil comprobar que $\zeta_7+\zeta_7^{-1}$ tiene tres conjugados $\Bbb Q$. Contradicción.
Si $q$ es un cuadrado y $r$ no es un cubo, entonces tenemos $\cos(2\pi/7)=\sqrt[3]r +b$ algunos $b\in\Bbb Q$. Los conjugados de la $\cos(2\pi/7)$ $\Bbb Q$ son reales, pero de los conjugados de la $\sqrt[3] r+b$$\Bbb Q$$\sqrt[3] re^{2 \pi i/3}+b$$\sqrt[3] re^{4 \pi i/3}+b$, y esto de dos números complejos no son reales. Contradicción.
Por último, si $r$ es un cubo en $\Bbb Q$, obtenemos una contradicción en el hecho de que $\cos(2\pi/7)$ tiene el grado $3$ $\Bbb Q.$
