Es bien sabido que las operaciones de diferenciación e integración se reducen a la multiplicación y la división después de ser transformadas por una transformada integral (como, por ejemplo, las transformadas de Fourier o de Laplace).
Mi pregunta: ¿Se intuye por qué esto es así? Se puede demostrar, vale - pero puede alguien explicar el panorama general (por favor, no demasiado técnico - puede que necesite otra intuición para entenderlo también ;-)
La transformada de Fourier y las transformadas de Laplace se define por las pruebas de la función dada f por funciones especiales (caracteres en el caso de la transformada de Fourier, exponenciales en el caso de Laplace).
Estas funciones especiales pasan a ser funciones propias de la traducción: si uno traduce a un personaje o una exponencial, se obtiene un escalar varios de ese personaje o una exponencial.
Como consecuencia, la transformada de Fourier o transformadas de Laplace diagonalise la operación de traducción (formalmente, al menos).
Cuando dos lineal de las operaciones de transporte, que son al mismo tiempo diagonalisable (en principio, al menos). Como tal, uno espera que la transformada de Fourier o transformadas de Laplace también diagonalise otros lineal, la traducción-invariante de las operaciones.
La diferenciación y la integración son lineales, la traducción-invariante de las operaciones. Esta es la razón por la que se diagonalised por la transformada de Fourier y las transformadas de Laplace.
Diagonalisation es una herramienta extremadamente útil, reduce el no abelian mundo de los operadores y matrices para la abelian mundo de los escalares.
Podría ayudarle a pensar acerca de un discreto modelo: considere el complejo de funciones con valores en $Z/n$. La transformada de Fourier discreta toma $f(k)$ a $g(j) :=\sum_{k=1}^n f(k) \zeta^{jk}$ donde $\zeta=e^{2 \pi i/n}$. Es bastante fácil ver que, si el cambio de $f(k)$ $f(k+1)$, cambiamos $g(j)$ $g(j)*\zeta^j$.
Del mismo modo, el cambio de $f(k)$ $f(k+1)-f(k)$ cambios $g(j)$ $g(j)*(\zeta^j-1)$. Así, en este modelo es discreto, teniendo una diferencia resulta de la multiplicación por $(\zeta^j-1)$. En forma similar, en el ajuste continuo, tomando un derivado se convierte en la multiplicación por $x$.
Usted puede pensar de la integral se transforma como un cambio de coordenadas. Uno de los principales trucos en la física es escoger un sistema de coordenadas que hace que su problema más simple. Por ejemplo, usted puede fijar sus coordenadas para que la acción que usted está interesado en que sucede lo largo de un eje.
Se podría pensar en una transformada de Fourier como una rotación en un espacio funcional. La diferenciación es particularmente simple en el girar el sistema de coordenadas, así como las fuerzas son más sencillas cuando el sistema de coordenadas con las líneas de la fuerza.
La transformada de Fourier es realmente una rotación de los géneros (la "transformación ortogonal"). Si se aplica la transformada de Fourier de cuatro veces, usted recupera su función original, como usted obtener seno de la espalda cuando se puede distinguir cuatro veces.
Uno unificador manera de ver muchas de las transformaciones es a través de los ojos de la teoría cuántica. Por ejemplo, la transformada de Fourier es un cambio de base de la cuántica, el espacio de Hilbert entre la coordenada y el impulso de las representaciones. El unitarity de la transformación es una expresión del hecho de que preservar cuántica probabilidades y no hay ninguna diferencia en la física del problema si utiliza cualquiera de representación.
La teoría geométrica de la cuantificación es en realidad la rigurosa forma de expresar esta unificado de punto de vista. Hay muchos transforma, por ejemplo, la transformada de Fourier-Wiener y el Berezin de transformación que comparten esta propiedad (conservación de la probabilidad cuántica).
Después de haber leído todas las respuestas (y de no haber entendido del todo la mayoría de ellas) finalmente he llegado a la siguiente conclusión:
Las mencionadas transformaciones integrales implican la función exponencial, por ejemplo $e^{nx}$
Diferenciar esto significa $n e^{n x}$ - que es simplemente la multiplicación por $n$
Integrar esto significa $\frac{1}{n} e^{nx}$ - que es simplemente la división por $n$
Esto es válido para las series de potencias, que son la forma discreta de las transformadas integrales (más o menos) y se derivan originalmente de la regla de la potencia (para la diferenciación), aunque se produciría una molesta división por la base utilizando términos de potencia "ordinarios". Esto se evita utilizando la función exponencial.
Por lo tanto, si esto tiene algún sentido, por favor vote - de lo contrario, por favor comente..
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