¿Sabe usted naturales ejemplos de categorías trianguladas (o [presentable] estable $\infty$-categorías) que no están en forma compacta generado? (lo ideal sería definida algebraicamente, pero curioso oír a cualquiera de los ejemplos.. los que me conocen se incorporan como polos opuestos de forma compacta generado categorías o ligeramente ad hoc construcciones geométricas)
Respuestas
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Como dice David, D(R) es generado de forma compacta. Esto significa Marrón de representatividad para COHOMOLOGY automáticamente, es cierto, pero eso NO significa Marrón de representatividad de HOMOLOGÍA es cierto, y de hecho no siempre es cierto. Que es lo que el Christensen-Keller-Neeman ejemplo se muestra.
Sea K(R) de la categoría de los complejos de la cadena de más de R y de la cadena de homotopy clases de la cadena de mapas. Entonces K(Z) no es compacto generado (y K(R) no es para muchos R). Esto queda demostrado en un documento de mina con Christensen.
Quillen estructuras de modelo para la relación de álgebra homológica
Damian Powell
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Un ejemplo es el siguiente: supongamos que $M$ es un no-compactos conectado el colector de dimensión $\geq 1$. A continuación, el sin límites derivados de la categoría de los complejos de la cadena de gavillas de abelian grupos en $M$ no tiene objetos compactos distinto de cero. Es, sin embargo, bien generado. Esto se puede encontrar en Neeman del papel "En la Deriva de la Categoría de Poleas en un Colector".
Otro ejemplo es el de suponer que $R$ es el anillo de $k\oplus V$ donde $k$ es un campo, $V$ es un infinito dimensional espacio vectorial y la estructura de anillo es el único responsable de que $V$ una plaza de cero ideal. A continuación, la categoría de $K(Proj\; R)$, el homotopy categoría de complejos de proyectiva $R$-módulos no es generado de forma compacta. De nuevo, aunque es bien generado (aun $\aleph_1$-compacta generado). En general, esta categoría no necesita ser generado de forma compacta si $R^{op}$ no es coherente.
Uno también podría producir más ejemplos a lo largo de estas líneas, me imagino que al considerar por ejemplo la homotopy categoría de tv de los módulos a través de un adecuado anillo.
Estos dos últimos ejemplos son muy naturales objetos de estudio - me puede dar más detalles sobre la razón por si a alguien le interesa.
Estos son los más naturalmente ejemplos que conozco de la parte superior de mi cabeza.
Voy a tratar de pensar en una representación modular ejemplo si puedo aunque cuando pienso en estas cosas es normalmente estable categoría para modular representantes de un grupo finito y estos son siempre de forma compacta generado.
Craig.Nicol
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No de modular teoría de la representación, pero el siguiente parece un geométricamente natural ejemplo:
Neeman tiene una buena nota en la que muestra que el único objeto compacto, en la que se derivan categoría de gavillas de abelian grupos en un no-compacto, conectado, positiva dimensiones del colector, es el objeto de cero.
csmba
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Divertido, que estábamos discutiendo esto en la cena de la noche anterior. De todos modos, ver Corolario B. 13 de Morava K-teorías de localización y por Hovey y Strickland para algunos estable presentable ∞-categorías sin distinto de cero compacto (ellos les llaman pequeña) de los objetos, por lo tanto no forma compacta generado. Un ejemplo es el H$\mathbb{F}_p$-categoría local. Véase también mi pregunta aquí para la discusión relacionada con.
Me gustaría saber si hay ejemplos que son H$\mathbb{Q}$enriquecido (módulos a través de H$\mathbb{Q}$-mod). Creo que no debería ser así, pero no sé exactamente cómo escribir una abajo.
