¿Son todos los enunciados matemáticos verdaderos o falsos?

Question

Me gustaría saber si es posible que una afirmación no sea ni verdadera ni falsa. Considere la vieja paradoja.

"Esta afirmación no es cierta"

Está claro que no puede ser cierto. Si es falso. Entonces es "no verdadero", lo que quizás sugiere que es cierto. En cualquier caso, diríamos comúnmente que este enunciado no es 'ni verdadero ni falso', ya que ambos conducen a una contradicción. ¿Podemos decir que "ni verdadero ni falso" es una propiedad formal de los enunciados lógicos, del mismo modo que la "veracidad" y la "falsedad" son propiedades formales? ¿Estoy en lo cierto al decir que esto es diferente a lo que dijo Godel? ¿No se refería él a enunciados como

"Esta afirmación no puede ser probada"

Es decir, la afirmación anterior puede ser cierta, pero nunca podremos demostrarla.

Answer 1

Para responder a esta pregunta, es necesario precisar el significado de "verdadero" y "falso".

En matemáticas, siempre trabajamos en algún teoría $T$ (normalmente ZFC), en la que podemos probar cosas. Por lo tanto, no hay ninguna ambigüedad en cuanto a que las fórmulas sean comprobable o incomprobable . Si la teoría es consistente (lo que esperamos), no hay ninguna declaración $A$ de manera que ambos $A$ y $\neg A$ son demostrables. Sin embargo, Gödel demostró que hay algunas afirmaciones $A$ con ambos $A$ y $\neg A$ no demostrable (en la mayoría de las teorías matemáticas). En este caso decimos que $A$ es indecidible .

En este caso, ¿qué dice sobre $A$ ¿es verdadero o falso? Para dar un significado a esto, es necesario entender la noción de modelo . Un modelo es una estructura matemática en la que nuestra teoría es válida (es decir, se verifican todos sus axiomas). Sólo en un modelo podemos decir que cada afirmación es verdadera o falsa. Si nos quedamos con nuestra teoría, sólo tiene sentido "demostrable" e "indemostrable". En particular, si $A$ es demostrable, significa que $A$ es cierto en todos los modelos de nuestra teoría. Lo contrario también es cierto, es decir, la teorema de exhaustividad de Gödel: si $A$ es cierto en todos los modelos de $T$ , entonces es demostrable en $T$ . Así que si $A$ es indecidible, significa que es verdadera en algunos modelos y falsa en otros. Por tanto, la afirmación no tiene un valor de verdad hasta que elegimos un modelo para evaluarla.

Lo que Gödel mostró es que en las teorías que son suficientemente expresivas, podemos definir un enunciado que diga "soy indemostrable", porque la demostrabilidad puede reducirse a operaciones matemáticas, y tiene un significado concreto aunque sólo conozcamos la teoría. Sin embargo, es imposible expresar "este enunciado es falso", porque "falso" no significa nada en la teoría, necesitamos referirnos a un modelo para expresarlo. Por eso tu afirmación paradójica no es un enunciado matemático bien definido.

AÑADIDO (tras el comentario de MJD)

Ahora bien, al definir una teoría, solemos tener un modelo en mente. Por ejemplo, si se toma la aritmética de Peano con el lenguaje $(0,successor, +,\times)$ , está pensando en el modelo $\mathbb N$ de los números naturales (llamados modelo estándar de aritmética ). Podríamos imaginar que podemos definir un enunciado "soy falso en el modelo $\mathbb N$ ". Sin embargo, Tarski demostró que es imposible, con su _indefinición de la verdad_ teorema.

Answer 2

La respuesta de dkuper es una buena explicación de cómo los matemáticos entienden la verdad, la noción relacionada de demostrabilidad (la naturaleza de esta relación es probablemente el tema motivador de toda la lógica matemática), y toda la lata de gusanos engendrada por la noción de independencia.

Quiero abordar otra cosa. Usted también dio un ejemplo de la frase

Esta afirmación no es cierta.

para el que las cosas son un poco diferentes. Como has señalado, dentro de un marco lógico de dos valores, ¡esta afirmación no puede ser ni verdadera ni falsa!

La solución habitual es restringir la noción de verdad matemática a las oraciones escritas en un lenguaje formal . De hecho, es precisamente para evitar estas paradojas autorreferenciales que pasamos todo ese tiempo en las clases de lógica elemental definiendo fórmulas bien formadas (o wffs ).

Si $\mathcal{W}$ es el conjunto de fórmulas bien formadas, entonces una función de verdad es una función $v:\mathcal{W}\to\mathcal{V}$ , donde $\mathcal{V}$ es el conjunto de valores de verdad permitidos. El conjunto $\mathcal{V}$ se suele suponer que tiene alguna estructura algebraica (un entramado normalmente), y $v$ se requiere para preservar esa estructura de alguna manera (¡se puede pensar en la verdad como un homomorfismo!).

(Las estructuras más comunes para $\mathcal{V}$ son el conjunto $\{\top,\bot\}$ (lógica de dos valores), alguna otra álgebra booleana (lógica clásica), un álgebra de Heyting (lógica intuicionista), o una red difusa como $[0,1]$ (lógica difusa).

Al definir el conjunto de oraciones gramaticalmente permisibles de forma recursiva, tales oraciones autorreferenciales son difíciles de construir (aunque no imposibles, como demostró Godel), pero lo más importante es que no hay forma de introducir la función de verdad dentro del lenguaje: es algo que opera en el lenguaje desde fuera.

(La proviabilidad es otra cosa, por eso Godel pudo codificar la frase autorreferencial que citaste antes. El hecho de que, a diferencia de la demostrabilidad, la verdad no pueda moverse dentro del marco de una manera razonable es lo que hace que Tarski indefinición de la verdad teorema, señalado en la respuesta de dkuper).

Así pues, la conclusión es que la verdad es una función, el dominio de esa función está cuidadosamente restringido, y el ejemplo de la frase que has puesto arriba queda fuera de ese dominio. Por lo tanto, su verdad es indefinida, al igual que la recíproca de $0$ y la raíz cuadrada de $-1$ son.

Answer 3

Que los portadores de la verdad sean oraciones de un lenguaje previamente definido $L$ . Muy ingenuamente, podemos formular la bivalencia para $L$ de la siguiente manera (dejemos $\ulcorner s \urcorner$ ser algo que denote la frase $s$ , tal vez su número de Gödel):

(PB) O bien $\ulcorner s \urcorner$ es verdadero o $\ulcorner s \urcorner$ es falso, para cualquier $s$ de $L$ .

Cualquiera que sea la verdad o la falsedad de los predicados que atribuyen estas nociones parece estar parcialmente gobernada por los siguientes principios:

(T) $\ulcorner s\urcorner$ es verdadera si s.

(F) $\ulcorner s \urcorner$ es falso si no s.

Aquí viene un rápido argumento a favor de la afirmación de que rechazar (PB) da lugar a oraciones que son tanto verdaderas como falsas (me gusta llamarlas 'gluts de valor de verdad'). Supongamos que (PB) no es verdadera. Entonces, hay alguna $ s$ de manera que no: o bien $\ulcorner s \urcorner$ es verdadero o $\ulcorner s \urcorner$ es falso. Entonces, por (T) y (F), tenemos que no: ni $s$ o no $s$ . Si ni s ni no s podemos concluir que ni s ni no s. Por lo tanto, s y no s. Entonces, por (T) y (F), se deduce que $\ulcorner s \urcorner$ es tanto verdadero como falso. Si por el contrario tanto s como no s, entonces $\ulcorner s \urcorner$ también es tanto verdadera como falsa, de nuevo por (T) y (F).

Así que, al parecer, si quieres abrazar las lagunas de valor de la verdad frente a la paradoja del mentiroso, tienes que ir necesariamente a por todas. Si no te gustan los gluts, ten cuidado con la brecha.