En Spanier del libro de topología algebraica, hay una definición de "categorías", que implica "una clase de objetos".
Me doy cuenta de que la vaguedad del concepto de "clase de objetos" es exactamente utiliza en lugar de "conjunto de conjuntos" porque queremos evitar ciertas paradojas de la teoría de conjuntos.
Aún así, me pregunto, ¿hay una definición más formal, o axiomatization, de lo que es una "clase de objetos" significa, en el concepto de una categoría?
La noción de una clase se define con rigor, Von Neumann–Bernays–Gödel teoría de conjuntos, que es un conservador extensión de ZFC.
Básicamente, usted puede formar clases de conjuntos de uso sin restricciones de la comprensión, y usted puede tomar libremente las subclases, las imágenes de clases en funciones, y usar el Axioma de Elección en las clases de conjuntos. Sin embargo, no hay una buena clase es permitido ser un elemento de nada -, si una clase $C$ es un elemento de una clase de $D$, $C$ debe ser un conjunto. En particular, no hay ninguna clase de todas las clases, aunque no es la clase de todos los conjuntos.
Una manera de abordar esto es empezar con $\in $, y construir un "universo" $U$, utilizando un estándar de ingenuo conjunto teórico de la construcción. $U$ se define de tal manera a fin de asegurar que todas las operaciones habituales de la teoría de conjuntos aplicada a los elementos de $U$, siempre producen elementos de $U$.
Ahora, nos dicen que $u$$\textit {small}\Leftrightarrow u\in U$. De lo contrario, $u$ se dice $\textit {large}$. Tenga en cuenta que hay grandes conjuntos: $U$ sí es grande porque, por supuesto,$U\notin U$.
Una vez $U$ está definido, entonces se obtiene la mayor parte de las propiedades que desee con el fin de hacer "ordinario" de las matemáticas, tales como $f:u\to v$ son de pequeño siempre $u$ $v$ son pequeñas.
Un $\textit {class}$ se define como cualquier subconjunto $S\subset U$. Tenga en cuenta que, dado que, por la construcción de $U$, $x\in u\in U\Rightarrow x\in U$, cada elemento de a $U$ es un subconjunto de a$U$, por lo que cada pequeño conjunto es una clase. Las clases que no pertenecen a $U$ son llamados $\textit {proper classes}$, $U$ un ejemplo de una clase adecuada.
A partir de aquí, se define el Gato, la categoría de los pequeños categorías, Gato', la categoría de los grandes categorías, etc.
Este enfoque tiene algunas desventajas. Por ejemplo, si se define Cls a la categoría de todas las clases, a continuación, el conjunto de objetos de Cls es $\mathcal P(U)$ que no es una clase, ya que su cardinalidad es estrictamente mayor que el de $U$.
Hay enfoques más sofisticados para la definición de las categorías, pero no soy lo bastante expertos para profundizar sobre ellos.
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