¿Significado geométrico de las multiplicidades de intersección?

Question

Me pregunto por el significado geométrico de la multiplicidad de intersección de dos curvas definida en Hartshorne 5.4 (La longitud de $O_p/(f,g)$ es la multiplicidad de intersección de $Z(f)$ y $Z(g)$ en $P$ ). ¿Puede alguien proporcionar una referencia o una descripción rápida para abordar lo que esto significa geométricamente? De la parte c) parece que tiene algo que ver con el número de raíces repetidas de una ecuación, pero no estoy seguro.

Answer 1

La definición moderna es una destilación de cientos de años de cálculos de intersecciones de curvas.
Una buena descripción intuitiva es que el número de intersección $I_p(f,g)$ en $p$ de dos curvas $Z(f), Z(g)$ en la cama $\mathbb A^2$ es el número de puntos reales de intersección cerca de $p$ de las dos curvas obtenidas al deformar ligeramente las ecuaciones de la primera curva a $f'$ .

Por ejemplo, si sus curvas están dadas por $f=y$ y $g=y^2-x^3$ sólo tienen un punto de intersección $O=(0,0)$ .
Pero si se deforma $f$ a $f'=y-\epsilon$ para algunos pequeños $\epsilon \gt0$ las curvas $Z(f')$ y $Z(g)$ se cruzarán en el tres puntos $(\epsilon^{2/3},\epsilon),(\omega \epsilon^{2/3},\epsilon),(\omega^2 \epsilon^{2/3},\epsilon)$ [donde $\omega$ es una raíz tercera primitiva de la unidad] .
Esto ilustra que la longitud de $\mathcal O_{\mathbb A^2,O}/(y,y^2-x^3)$ es de hecho $3$ .