Tener $A_1=a+b+c$,$A_2=a^2+b^2+c^2$, $A_3=a^3+b^3+c^3$ - cómo conseguir $a,b,c$?

Question

Tal vez sólo estoy un poco denso en el momento - he re-leído algunas de mis notas de meses atrás respecto de primaria simétrica polinomios, y me encuentro con que no tengo ni idea de cómo acercarse a la "inversa" problema: si usted tiene la -digamos - tres valores de $A_0,A_1,A_2,A_3$, y usted sabe $$ \begin{matrix} A_0 &=& a^0+b^0+c^0 &= 3 \\ A_1 &=& a^1+b^1+c^1 &= 29 \\ A_2 &=& a^2+b^2+c^2 &= 315 \\ A_3 &=& a^3+b^3+c^3 &= 3653 \\ \end{de la matriz}$$ - sólo para dar algunos valores de ejemplo, a continuación,
P: ¿cómo me acerco a la búsqueda de $a,b,c$ por algunos ruta de acceso general, que se podría también utilizar para los problemas con más valores de las variables.
Supongo, que implicaría de alguna manera una matriz/un autovalor de formulación pero no tengo una idea para el primer paso en el momento...

(P. s.: No tengo una buena idea para las etiquetas, por favor siéntase libre de mejorar mi selección)

Answer 1

Sugerencia:

Encontrar el$ab+ac+bc$$abc$ .

Las raíces del polinomio $P(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ac)x-abc$$a,b,c$.

Answer 2

Como $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca),$ $ A_1^2=A_2+2(ab+bc+ca)\implies ab+bc+ca=\frac{A_1^2-A_2}2$

De nuevo, $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)\{a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)\}=(a+b+c)\{(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)\}$ $\implies A_3-3abc=A_1\left(A_1^2-3\frac{A_1^2-A_2}2\right)$

Express $abc$ $A_1,A_2,A_3$

Así, la ecuación cuyas raíces son $a,b,c$ $x^3-A_1x^2+\frac{A_1^2-A_2}2x-abc=0$