La división de los campos de polinomios sobre campos finitos

Question

No puede seguir una declaración en mis notas:

"Vamos a $K$ ser un campo finito, con $f \in K[X]$ un polinomio irreducible de grado $d$. Entonces cualquier extensión finita $L/K$ es normal, y por tanto si $L$ contiene una raíz de $f$ a continuación, contiene todas las raíces de $f$. Por lo tanto, la división de campo de $L$ $f$ es de la forma $K(\alpha)$ donde $f$ es el polinomio mínimo de a $\alpha$."

Puedo ver por qué $L$ debe ser normal (cualquier finito extensión de un campo finito es de Galois), y por tanto, por definición si $L$ contiene una raíz de $f$ a continuación, contiene todas las raíces de $f$. No sigo la siguiente frase:

i) ¿por Qué debe $L$ ser la división de campo de la $f$? EDIT: Es esta $L$ ahora un 'nuevo' $L$?

ii) Si $L$ es la división de campo de la $f$, ¿por qué tiene que ser de la forma $K(\alpha)$?

Answer 1

i) la edición es correcta. La declaración está diciendo que cualquier finito extensión de un campo finito es normal. Desde la división de campo de la $f$ es necesariamente finita (con grado en la mayoría de las $d!$), entonces también debe ser normal.

ii) $K(\alpha)$ es una extensión finita de $K$, y así (por la frase anterior) es una extensión normal. Contiene una raíz de $f$, por lo tanto, debe contener todas las raíces de $f$ por la normalidad y por lo tanto contiene la división de campo de la $f$. A ver que $K(\alpha)$ es, precisamente, la división de campo de la $f$, se observa que la división de campo de la $f$ debe contener $K$$\alpha$, por lo que contiene $K(\alpha)$.