Investigación en geometría plana o euclidiana

Question

En el colegio me iba bien en geometría plana y trigonometría -especialmente en las pruebas geométricas como demostrar la igualdad de dos segmentos de recta o dos ángulos- más que en geometría analítica.

Estoy considerando hacer investigación en matemáticas para ser mi carrera (y mi vida) algún día. y me pregunto sobre el área de investigación más interesante para mí.

Lo que estoy preguntando es :

¿Sigue habiendo campos de investigación abiertos en la geometría plana o en la geometría euclidiana? ¿O se considera que esta área es fundamental y ya está suficientemente investigada?

Gracias.

Answer 1

En realidad, existe un teorema de Tarski según el cual la geometría euclidiana elemental es decidible. A grandes rasgos, esto significa que existe un programa de ordenador que puede decidir si una afirmación dada de la geometría euclidiana elemental es verdadera (si se le da suficiente tiempo). En general, a los matemáticos no les gusta hacer cosas que se puedan hacer en un ordenador. Y por eso no hay investigación activa en geometría elemental. Hay algo de información sobre esto en wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry#Logical_basis . También puede consultar esta pregunta ¿Es posible resolver cualquier problema de geometría euclidiana con un ordenador? .

Answer 2

En este sitio se pueden encontrar muchos artículos sobre trabajos recientes en geometría euclidiana "clásica" avanzada: http://forumgeom.fau.edu/

Answer 3

No estoy seguro de que esto sea lo que busca. Pero me parece interesante: es fácil de entender y está algo relacionado con la geometría plana:

Un gráfico es plano si se puede dibujar en el plano sin ningún cruce. Es bien sabido que todo grafo plano puede dibujarse en el plano de forma que cada arista se dibuja como un segmento de línea recta. Kemnitz y Harborth hicieron la siguiente conjetura más fuerte:

Conjetura. Todo gráfico plano puede dibujarse en el plano de forma que cada arista sea un segmento de línea recta con longitudes de arista enteras.

Para el caso en que el grafo es cúbico (es decir, cada vértice tiene exactamente tres aristas que lo conectan), se sabía que era cierto. Véase enlace a la revista o papel . Pero el caso general sigue abierto. Puedes entender mejor el problema leyendo el documento.