Encontrar todos los escalares $k$ de tal manera que $\| kv \| = 10$

Question

Tengo una pregunta de deberes que pedir

Encuentra todos los escalares $k$ de tal manera que $\|kv\| = 10$ cuando $v=(1,-4,6)$ .

Lo que hice que encontré la norma de $v$ que me pareció que era $ \sqrt {53}$ . Entonces tomé esa respuesta y la multipliqué por $k$ para conseguir $10$ como esto: $ \sqrt {53} \cdot k=10$ , $$ k= \frac {10}{ \sqrt {53}} $$ No creo que este enfoque sea correcto porque no se ocupa de la $k$ siendo calculado dentro de la norma. No sé cómo hacerlo, así que cualquier indicación sería muy apreciada.

Answer 1

Según la definición de la norma tiene $$ 10=\|kv\| = |k|\cdot\|v\| = |k|\sqrt{53} $$ así que $|k| = \frac{10}{\sqrt{53}}$ y $k_1 = -\frac{10}{\sqrt{53}}$ , $k_2 = \frac{10}{\sqrt{53}}$ .

Answer 2

Si aún no lo sabe $\| kv \| = |k| \cdot \| v \|$ se puede calcular directamente $k\mathbf{v}$ . Esto es sólo $k(1,-4,6)=(k,-4k,6k)$ Así que $\|k\mathbf{v}\|=\sqrt{k^2+16k^2+36k^2}$ . Si se establece que es igual a $10$ , se encuentra $$ k^2=100/53, $$ y luego resolver los posibles valores de $k$ .