"Aquí hay un problema genial": una colección de preguntas cortas con soluciones ingeniosas

Question

Este juego resultará familiar a muchos matemáticos, y siempre es muy divertido jugarlo.

Estoy buscando una lista de buenas preguntas con soluciones cortas, cuando las vea. El tipo de pregunta que uno podría resolver prácticamente en cualquier lugar: durante la cena, mientras da un paseo esencialmente, sin lápiz ni papel, y en la que la solución radica en la detección de un truco o hecho inteligente (en lugar de a través de un teorema monstruosamente poderoso).

Para hacerse una idea de lo que quiero decir, he aquí un ejemplo:

Q. Un número real se llama repetitivo si su expansión decimal contiene bloques arbitrariamente largos que son iguales. Demostrar que el cuadrado de un número repetitivo es repetitivo.

(por favor, no publique una solución, ya que estoy seguro de que cualquiera puede resolverlo con el tiempo suficiente)

¿Alguien tiene castañas similares que ofrecer?

Answer 1

Evaluar:

$$\int_0^1\!\!\int_0^1\! \dfrac{1}{1-xy} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

Answer 2

Considere un tablero de ajedrez de 8x8 y un dominó de 2x1. Es evidente que se puede cubrir fácilmente todo el tablero de ajedrez con 32 fichas de dominó.

Ahora omite los cuadrados de la parte inferior izquierda y superior derecha. Quedan 62 casillas en el tablero. ¿Puedes cubrirlas con 31 fichas de dominó?

Answer 3

$1$ , $z$ , $z^2$ y $z^3$ (todas distintas) se encuentran en el mismo círculo del plano complejo. ¿Cuál es el centro de ese círculo?

Answer 4

Una sala rectangular del museo tiene el suelo alicatado con baldosas de dos formas: $1 \times 4$ y $2 \times 2$ . Las baldosas cubren completamente el suelo de la habitación, y ninguna baldosa ha sido dañada, cortada por la mitad o ha visto afectada su integridad. Un día, un objeto pesado cae al suelo y una de las baldosas se agrieta. El empleado del museo retira la baldosa dañada y va al almacén para conseguir una nueva. Pero descubre que sólo hay una baldosa de repuesto, y que tiene la otra forma. ¿Puede reorganizar las baldosas que quedan en la sala de manera que la baldosa de repuesto pueda utilizarse para tapar el agujero?

Answer 5

Este es un viejo problema de Putnam, que creo que es un excelente ejemplo de esto.

Dejemos que $a_n = 1111...1 $ ( $n$ ) por ejemplo $a_2 = 11$ . Encuentra todos los polinomios $f$ tal que para todo $a_n$ Hay un poco de $a_k$ donde $f(a_n) = a_k$ .

Sugerencia: reduzca el problema a la búsqueda de polinomios $g$ donde $g(10^n)=10^k$ .