He leído que para un anillo de $ R $ en general, derecho $ R $-módulos no son las mismas cosas que a la izquierda $ R $-módulos.
¿Por qué decimos que un derecho $ R $-módulo es equivalente a una izquierda $ R $-módulo sólo al $ R $ es conmutativa?
Siento que la conmutatividad de la $ R $ es estrictamente una propiedad interna de $ R $, así que ¿cómo puede la conmutatividad de la $ R $ afectan a la multiplicación escalar en un $ R $-módulo de $ M $, que es una operación externa?
un derecho R-módulo es equivalente a una izquierda R-módulo sólo si R es conmutativo
Esta declaración tiene un par de problemas graves que resolver.
Porque "equivalente" no está definido, no es claro el significado de la frase significa. (Discuten brevemente a continuación.)
Se usa "sólo cuando", pero esa es la equivocada dirección lógica: se debe utilizar sólo cuando. Hay, de hecho, no-conmutativa de los anillos, donde la izquierda y la derecha módulos son prácticamente los mismos, por lo que "sólo cuando" no es realmente apropiado.
Creo que una mejor versión de la declaración es:
Un derecho $R$ estructura del módulo puede ser utilizado como una izquierda $R$ estructura del módulo al $R$ es conmutativa
Supongamos que se ha definido un derecho $R$ módulo para un anillo conmutativo, de modo que $mr$ tiene sentido para$m\in M$$r\in R$. Entonces, ingenuamente, uno podría decir: "oh, así que debe ser lo mismo que $rm$."
En realidad, no es inmediatamente claro que eso es una cosa legítima para hacerlo, pero sí, a través de conmutatividad de la $R$, se puede comprobar que la nueva acción $rm:=mr$ que satisfaga a todo el módulo de axiomas. Después de que se hace, se habría utilizado el derecho $R$ estructura del módulo como las $R$ estructura del módulo.
Simétricamente, a la izquierda del módulo de estructuras puede ser utilizada como a la derecha del módulo de estructuras, y de hecho, si usted cambia de lado dos veces, se termina con el módulo original con el que comenzó. Por eso decimos que cuando $R$ es conmutativa, a la derecha y a la izquierda los módulos son "el mismo".
Resulta que a la izquierda $R$ módulo se estructura en un grupo abelian $M$ equivale a un anillo homomorphism de $R\to End(M)$ donde $End(M)$ es el conjunto de grupo endomorphisms de $M$.
Por otro lado, un derecho $R$ módulo de estructura en $M$ equivale a un anillo homomorphism de $R\to End(M)^{op}$ donde $End(M)^{op}$ es el opuesto del anillo de $End(M)$. (Equivalentemente, se puede utilizar un anillo de homomorphism de $R^{op}\to End(M)$.)
Este conjunto de "opuesto del anillo" negocio es lo que hace que sea necesario mantener un seguimiento de módulo lados: el homomorphisms de $R$ a $End(R)$ pueden ser completamente diferentes de aquellos en $End(R)^{op}$. Eso es sólo la forma en que las cosas son.
Por último, si $R\cong R^{op}$, entonces algo bueno sucede! Desde $R$ $R^{op}$ no puede ser distinguido, de hecho, puede utilizar una izquierda $R$ estructura del módulo como un derecho $R$ estructura del módulo. Formalmente, si usted tuvo la homomorphism $R\to End(M)$, usted podría simplemente redactar con el isomorfismo $R^{op}\to R\to End(M)$ obtener $R^{op}\to End(M)$, un derecho $R$ estructura del módulo.
Esta es, obviamente, el caso de anillos conmutativos, ya que el mapa de identidad es un isomorfismo de un anillo conmutativo con su opuesto del anillo. Pero esto se aplica de manera más general, ya que hay no-conmutativa anillos isomorfos con su opuesto anillos.
Su pregunta se basa en una buena observaciones: a) El párrafo anterior proporciona una explicación parcial de por qué el interior de la propiedad conmutativa de anillos pueden influir en las dos categorías de módulos. La razón es que desde conmutatividad hace que el anillo "simétrica", sus módulos y a la izquierda de los módulos se va a ver igual.
Si quieres profundizar tu comprensión de cómo las propiedades de un anillo y su módulo de dos categorías de interactuar, entonces usted va a tener un buen tiempo estudiando el módulo de teoría ya que es uno de módulo de teoría de los temas principales.
En general, un módulo de la izquierda sobre un anillo de $R$ es equivalente a un derecho módulo sobre el ring $R^{\operatorname{op}}$, cuya multiplicación es la misma que la de $R$, pero en la dirección opuesta (es decir,$a\cdot_{\operatorname{op}} b = b \cdot a$). Esto es porque en un módulo de la izquierda, decir $M$, se multiplica por elementos de la izquierda, de modo que, si por $\lambda_a: M\mapsto M$ se denota la función definida por la izquierda-la multiplicación por un elemento $a \in R$, tenemos $$[\lambda_a \circ \lambda_b](m) = ab \cdot m = \lambda_{ab}(m).$$ In contrast, in a right module, if we let $\rho_a$ denote right multiplication by $\R$, we have $$[\rho_a \circ \rho_b](m) = m \cdot ba = \rho_{ba}(m).$$
Por lo tanto, dado que la composición va en la dirección opuesta en un módulo de derecho como en el izquierdo del módulo, por escrito todo lo que hacia atrás, podemos convertir un derecho $R$-módulo a izquierda, $R^{\operatorname{op}}$- módulo. Si $R$ es conmutativa, $R\cong R^{\operatorname{op}}$, tan a la derecha y a la izquierda los módulos son equivalentes.
Su segunda pregunta toca una idea interesante - lejos de ser aislados, hechos intrínsecos a un anillo de $R$ y los hechos acerca de la categoría de $R$-los módulos son de hecho muy vinculado, y a menudo de manera interesante.
El externo "multiplicación" de los escalares de un anillo de $R$ es modelada (tácitamente) en el interior de la multiplicación de escalares dentro del anillo. Voy a hablar de dos de los ángulos de la evidencia de este punto de vista.
Semisimplicity. Considere la posibilidad de semisimple $R$-módulos de $M$. A continuación, $M$ se descompone como producto directo de módulos sencillos como $M\cong M_1\times\cdots\times M_n$. Simple módulos se caracterizan por ser cocientes de los escalares anillo ($N\cong R/I$) hasta el isomorfismo. Esto nos dice muy directamente que los escalares operación se modela muy cerca de la operación de multiplicación dentro de $R$. Más generalmente, los módulos pueden ser más complicado de lo que semisimple, pero "más complicado" hay razón para esperar que el anillo de la operación de multiplicación de dejar de tener el control o la influencia sobre la estructura del módulo.
La acción de los mapas. Una $R$-módulo de $M$ es esencialmente codificado como un homomorphism $R\to{\rm End}(M)$. Así, el escalar de la operación es codificada por una imagen homomórfica de $R$, lo cual es, obviamente, depende de la naturaleza de la $R$'s operaciones internas.
En la de arriba no me mención a la izquierda frente a la derecha; llenar los espacios en blanco. Que la multiplicación en $R$ es diferente entre la izquierda v. derecho perspectivas significa el ideal de la teoría puede diferir.
Categórica pensamientos. Si $R$ es conmutativa, a continuación, todos los ideales son dos caras de forma automática, y toda la izquierda $R$-módulo puede ser convertido canónicamente en un derecho $R$-módulo (simplemente definir la misma acción!). Desde un punto de alta de la ceja punto de vista con el derecho del lenguaje podemos decir que existe un natural de equivalencia entre las categorías de la izquierda $R$-módulos y derecho $R$-módulos. Sin embargo, en el no conmutativa la configuración de la mayoría de nosotros puede reclamar una equivalencia entre la izquierda $R$-módulos y derecho $R^{\rm op}$-módulos, donde $R^{\rm op}$ representa el opuesto del anillo. En general $R\not\cong R^{\rm op}$ (difícil ejemplos aquí).
Para un anillo conmutativo $R$, lo que se puede decir (en el módulo teórico de términos) sobre la categoría de la izquierda los módulos a través de $R$ puede ser dicho acerca de la categoría de módulos, porque hay un "canónica" camino para convertir cualquier diagrama de la izquierda módulos en un diagrama de módulos.
En el caso general de no conmutativa anillos de esto no es cierto: los anillos puede ser a la izquierda noetherian (artinian, coherente, perfecto, ...) y el derecho a no noetherian (artinian, coherente, perfecto, ...). Todas estas propiedades se pueden definir en el módulo teórico de términos a través de los diagramas: un anillo que queda perfecto cuando cada módulo de la izquierda tiene una cubierta proyectiva, por ejemplo; es la izquierda noetherian cuando cada suma directa de inyectiva izquierda módulos es inyectiva.
En caso de que el anillo de $R$ tiene una involución, es decir, un mapa de $\varphi\colon R\to R$ tal que
entonces estamos en una situación similar a la conmutativa caso (donde podemos tomar el $\varphi$ a la identidad): toda la izquierda del módulo de $M$ puede convertirse en un derecho módulo con $xr=\varphi(r)x$ y es fácil demostrar que la izquierda del módulo de morfismos convertido a la derecha del módulo de morfismos. Sin embargo, es la excepción más que la regla para no conmutativa anillos.
Algunas módulo teórico de las propiedades son de izquierda a derecha simétrica, aunque: semisimplicity y semiperfectness son algunos ejemplos.
El hecho de que cada módulo de la izquierda puede ser visto como un derecho en el módulo el contrario anillo simplemente dice que las propiedades generales de los módulos de mantener tanto para la izquierda módulos y módulos: por ejemplo, cada módulo tiene una envolvente inyectiva, porque una prueba dada por la izquierda módulos no depende de las propiedades especiales de el anillo.
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