Diferencias entre simétrica, Hermitian, auto-adjunto, y esencialmente auto-adjunto operadores

Question

Yo soy un físico. Siempre he escuchado que los físicos utilizan la terminología de "simétrica", "Hermitian", "auto-adjuntos", y "esencialmente auto-adjunto" a los operadores de manera intercambiable.

En realidad, ¿cuál es la diferencia entre todos los operadores? Presumiblemente comprensible por un físico.

Answer 1

He aquí un matemático de apuñalar a una respuesta. El tl;dr versión: "simétrica" y "auto-adjunto" son la misma cosa para delimitada operadores, mientras que son la misma cosa para unbounded los operadores sólo en la medida en que la Aharonov--Bohm efecto, no existe.

1. Un densamente definido operador $D$ en su espacio de Hilbert $H$ es simétrica si para cualesquiera vectores $\xi$ $\eta$ en el dominio $D(A)$ de $A$, $\langle \xi, A\eta \rangle = \langle A\xi, \eta \rangle$. Esto, en particular, implica que $D(A) \subseteq D(A^\ast)$ donde $D(A^\ast)$ denota el dominio de $A^\ast$.
2. Un operador simétrico $A$ es auto-adjunto (o, equivalentemente, Hermitian, a pesar de que algunos aparentemente definir un Hermitian operador se delimitada auto-adjunto del operador) si $A = A^\ast$ ilimitado de operadores, es decir, $D(A) = D(A^\ast)$ y para cualquier $\xi \in D(A) = D(A^\ast)$, $A^\ast \xi = A \xi$. Esto es equivalente a decir que el $A$ es simétrica y $D(A) = D(A^\ast)$. Tenga en cuenta que la auto-adjunto operadores absolutamente no necesita estar en todas partes definidas!
3. Un auto-adjunto del operador $A^\prime$ se llama auto-adjunto de extensión de un determinado operador simétrico $A$ si $D(A) \subseteq D(A^\prime)$ e si $A^\prime \xi = A\xi$ cualquier $\xi \in D(A)$. A continuación, $A$ se llama esencialmente auto-adjuntos si se admite un único auto-adjunto de extensión, en cuyo caso incluso nosotros, los matemáticos suelen ser muy feliz a confundir $A$ con su único auto-adjunto de extensión.

OK, así que ¿por qué debería de físicos teóricos alguna vez la atención sobre este asunto, dado que muchos de los operadores que usan (por ejemplo, casi cualquier Hamiltonianos usted acerca de la atención en la línea o en todos los de $3$-espacio, si recuerdo correctamente) puede ser demostrado ser esencialmente auto-adjuntos? Así, grosso modo, en cualquier momento que usted necesita alboroto acerca de la imposición de diferentes condiciones de contorno, estás muy posiblemente en realidad se quejan con diferentes auto-adjunto extensiones sin saberlo.

Por ejemplo, el impulso operador $i\tfrac{d}{dx}$ en el intervalo de $[0,1]$ (o su intervalos finitos de elección) es simétrica pero no esencialmente auto-adjunto; usted tiene un círculo completo la pena de diferentes auto-adjunto extensiones, cada uno que viene precisamente a partir de la imposición de un cuasi-periódicas de la condición de límite de la forma $f(0) = e^{2\pi i \beta}f(1)$. Estos, a su vez, no son de inactividad matemáticos, curiosidades, sino que son el resultado matemático/manifestación de la Aharonov--Bohm efecto; para más detalles véase, por ejemplo, http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~helling/pextension.pdf, aunque estoy seguro que en la sección correspondiente de Caña--Simon también discutir esto.

Por supuesto, el momento en el que usted está tratando más bien delimitada operadores (por ejemplo, discretas de Schroedinger operadores), entonces no hay diferencia alguna entre ser simétrica y el ser uno mismo-adjoint.

Answer 2

Sí, para los físicos, es la misma cosa. Trato de resumir las diferencias de matemáticas fuentes:

Un operador de Una verificación de $\langle Au,v\rangle = \langle u,Av\rangle$ se llama simétrica.

En este caso, las definiciones de dominio compruebe $D(A) \subset D(A^*)$. Así que usted tiene, en general, no hay igualdad entre el$A$$A^*$, debido a que los dominios de definición son diferentes.

Un operador es hermitian si es limitado y simétrica.

Un auto-adjunto del operador es, por definición, simétrica y en todas partes definidas, los dominios de definición de las $A$ $A^*$ son iguales,$D(A) = D(A^*)$, lo que en realidad $A = A^*$ .

Un teorema (Hellinger-Toeplitz teorema) indica que en todas partes se define simétrica operador es acotado.

También hay una sutileza, es decir, por cada hermitian operador, usted puede construir una ampliación de este operador, que es auto-adjunto.